Konvergenzradius bestimmen. Bsp. Σ (-1)^n/(2n)! * z^{2n}

Question

 Σ (-1)^n/(2n)! * z^{2n}

ich muss für die unten genannten Potenzreihen den Konvergenzradius bestimmen, leider komm ich nicht wirklich klar.

\( \left.\text { a) }\left.\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} * z^{2 n} \quad b\right) \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} * z^{2 n+1} \quad c\right) \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{2} * 9^{n} *(z-2)^{2 n} \)

Vielen Dank :)

Comments

Sind a) und b) nicht ungefähr Reihen von cosinus und sinus?

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Das hilft mir leider nicht wirklich weiter :/

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https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen

Das sollte dich eigentlich darauf hinweisen, dass die ersten beiden Radien unendlich sein sollte. Ausrechnen musst du die Radien mit Formeln aus deinem Skript.

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Die Sinusreihe hab ich jetzt berechnet. Bin jetzt bei der Cosinusreihe, aber wie mache ich das bei c)?

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Benutze bei c) dieselben Formeln: In Wikipediaform https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius folgende

Weil 9> 1 Basis ist von 9^n sollte rauskommen, dass r=0 ist.

Answer 1

a) $$\left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}z^{2n+2}}{(2n+2)!}}{\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}} \right|= \left| \frac{(2n)! z^{2n+2}}{(2n+2)! z^{2n}}\right|= \left| \frac{z^2}{(2n+1)(2n+2)}\right| \to 0<1$$


Also ist der Konvergenzradius gleich +∞.


Kannst du b und c selber versuchen oder brauchst du Hilfe?