Hi,
ich mach das mal für die Aufgabe (b). Aufgabe (a) geht genauso ist aber einfacher. Du musst zuerst die Eigenwerte bestimmen aus der Gleichung
$$ \left| \det (A) - \lambda E \right| = -(\lambda -1 )(\lambda + 1)^2 $$ Damit sind die Eigenwerte \( \lambda_1 = 1 \) und \( \lambda_2 = -1 \)
Nun muss man die Eigenvektoren bestimmen, das ergibt
$$ v_1 = \begin{pmatrix} -10\\1\\0 \end{pmatrix} $$
$$ v_2 = \begin{pmatrix} 6\\0\\1 \end{pmatrix} $$
$$ v_3 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} $$
Damit hat man die Matrix \( S = \begin{pmatrix} -10 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Die Matrix \( D \) sieht so aus
$$ D = S^{-1}AS = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Damit ergibt sich
$$ y(t) = S \begin{pmatrix} e{-t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & e^t \end{pmatrix} S^{-1}y_0 = \begin{pmatrix} 18e^{-t}-17e^t\\0\\3e^{-t} \end{pmatrix} $$
Durch nachrechnen zeigt man das wirklich gilt
$$ y'(t) = Ay(t) $$ mit \( y(0) = y_0 \)
