Zwei reguläre Tetraeder mit gleicher Kantenlänge durchdringen einander. In welchem Verhältnis stehen Volumen V und D?

Question

Aufgabe:

Zwei reguläre Tetraeder mit gleicher Kantenlänge durchdringen einander so, dass jede Fläche durch die Mittelpunkte von drei Kanten geht, die von einer Ecke ausgehen. Die Vereinigung \( V \) der beiden Tetraeder ist ein dreidimensionaler "Stern".

a) Sei \( D \) der Körper, der aus allen Punkten besteht, die zu beiden Tetraedern gehören. Beschreiben Sie diesen "Durchdringungskörper".

b) In welchem Verhältnis stehen die Volumen von \( V \) und \( D \)?

a) Der Durchdringungskörper hat 12 Kanten und 8 gleichseitige Dreiecke als Flächen. \( D \) ist ein Oktaeder.

b) Der Oktaeder \( D \) entsteht dadurch, dass von einem Tetraeder (Volumen \( T \) ) vier kleine Tetraeder mit halber Kantenlänge abgeschnitten werden.

Daher ist das Volumen jedes dieser kleineren Tetraeders \( \frac{1}{8} T \).

Also ist das Oktaedervolumen \( D=T-4 \cdot \frac{T}{8}=\frac{T}{2} \) und \( V=T+4 \cdot \frac{T}{8}=\frac{3}{2} T \)

Somit ist \( \frac{V}{D}=3 \)

Answer 1

Was hast du bei b nicht ganz verstanden.

Das Volumen einen kleinen Tetraeders mit halber Kantenlänge ist 1/8*T

Das ergibt sich aus dem Strahlensatz. Alle Längen in dem Körper werden halbiert. Dadurch achtelt sich das Volumen.

Oktaeder

D = T - 4 * 1/8*T = 1/2*T

Der Oktaeder ist also halb so groß wie ein Tetraeder.

Die Vereinigung ergibt sich analog aus einem Tetraeder plus 4 kleine Tetraeder

V = T + 4 * 1/8*T = 3/2*T

Der Verhältnis von V und D ist der Quotient aus V und D

V / D = (3/2*T) / (1/2*T) = 3

Damit ist der Vereinigungskörper genau 3 mal so groß wie der Schnittkörper.