Integrationsausdrücke vereinfachen. Integrand ist 1/(3z^2 + 2)

Question

Aufgabe zur Integration:

Wie kommt man auf diesen Ausdruck?

\( \int \frac{d z}{3 z^{2}+2}=\sqrt{\frac{1}{6}} · \arctan \left(\sqrt{\frac{3}{2}} · z\right) \)

Ich weiß, dass 1/(z^2+1) gleich arctan ist, aber wie bekomme ich den Rest?

Answer 1

1.)Klammere im Nenner 2 aus und setzte die Konstante dann als 1/2 vor das Integral.

2.)Substituiere

x=sqrt(3/2) *z

dann kommst Du auf den arc tan.

Answer 2

3z^2 + 2 = 2(3/2 z^2 + 1) = 2*((√(3/2) z)^2 + 1)

1/2 kommt als Faktor vor das Integral. Substituiere dann x = √(3/2) * z.

Es folgt dann nur noch eine Bruchumformung mit Wurzeln. 

Comments

danke schonmal :) und wie komme ich da dann auf wurzel 1/6

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 x = √(3/2) * z

dx / dz = √(3/2)

dx √(2/3) = dz

Substitution heisst dz ersetzen durch das links.

Konstante Faktoren vor das Integral nehmen und

1/2 * √(2/3) vereinfachen. Wie gesagt: Bruchrechnen mit Wurzeln.

= √(1/4) * √(2/3) = √(2/12) = √(1/6).

Aber das kann ja schlecht sein, dass du nicht mit Wurzeln umgehen kannst, wenn du integrieren üben sollst.

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Schauh es Dir in Ruhe an: