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ich versuche gerade bei einer vollständigen Induktion von:

$$2^{n-1}(a^n+b^n)\gt (a+b)^n$$

beim Induktionsschluss umzuformen, weiß aber nicht weiter wie ich es umformen kann.
Ausgehend von folgendem "Folgeschritt":

$$2^n(a^{n+1}+b^{n+1})\gt (a+b)^{n+1}$$

wollte ich erst einmal alle n+1 herausziehen um auf die "alte" Form zu kommen, um meine Annahme einzubauen, habe auch nun ein paar Wege ausprobiert.
1) 2n * a(n+1) + 2n + b(n+1) > (a+b)n (a+b)

2) 2(n-1) (a(n+1) + b(n+1)) * 2 > (a+b)n (a+b)

3) a(n+1) + b(n+1) > (a+b)(n+1) / 2n

aber irgendwie bekomm ich bei keiner der Varianten bei a(n+1) + b(n+1) diesen +1en Teil heraus,
also das a und b bei: an a + bn * b

Im Moment habe ich folgendes gemacht (das bisher weiteste, insofern es richtig ist)
2n (a(n+1) + b(n+1))
<=> 2n (an + bn)(a+b) -anb -bna)
<=> 2n-1 (an + bn)(a+b) -anb -bna) 2
<=> (2n-1 (an + bn)(a+b) -2n-1(anb + bna)) 2
dann die Induktionsannahme eingesetzt
 >  ((a+b)n (a+b) -2n-1(anb + bna)) 2
<=> ((a+b)n+1 -2n-1(anb + bna)) 2 >(?) (a+b)n+1
<=> 2(a+b)n+1 -2n(anb + bna) >(?) (a+b)n+1
<=> (a+b)n+1 -2n(anb + bna) >(?) 0
<=> (a+b)n+1 >(?) 2n(anb + bna)

Aber nun weiß ich nicht mehr weiter, kann leider auch nicht erkennen ob das nun schon wirklich größer ist als die rechte Seite.. :(




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2^{n + 1 - 1}·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)^{n + 1}

2^n·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)·(a + b)^n

2^n·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)·2^{n - 1}·(a^n + b^n)

2·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)·(a^n + b^n)

2·a^{n + 1} + 2·b^{n + 1} ≥ a^{n + 1} + b·a^n + a·b^n + b^{n + 1}

a^{n + 1} + b^{n + 1} ≥ b·a^n + a·b^n

a·a^n + b·b^n ≥ b·a^n + a·b^n

(a - b)·a^n ≥ (a - b)·b^n

für a > b --> a^n ≥ b^n

für a < b --> a^n ≤ b^n

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vielen Dank... das hätte ich nie herausgefunden. x_x

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