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Hallo!Ich habe folgende Aufgabe und ich habe keine Ahnung wie ich das zeigen soll :/Sei K ein Körper und U c K^n ein Untervektorraum. Ich soll zeigen, dass es einen Endomorphismus f:K^n ---> K^n mit U=Ker(f) gibt.Wie mache ich das? :/
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Es ist V = Kn . Wenn U = {0} ist, ist nichts zu zeigen, denn z.B.  idV : x ---> x ist ein Endo. mit Kern = U.
Anderenfalls besitzt U eine Basis u1,...uk , die sich zu einer Basis u1,...unvon ganz V ergänzen lässt.
Und jedes v aus V besitzt eine Darstellung  a1*u1 + ... ak*uk + ....  an*un = v
Dann ist f : V ---> V ;  f(v) = 0 + ak+1*uk+1 + ....  an*un
( wie sich leicht zeigen lässt) ein Endomorphismus von V, der offenbar den Kern U hat.
von 228 k 🚀

ist bei einem endomorphismus der untervektorraum also immer der kern der abbildung?

Der Kern, das sind alle Vektoren, deren Bild = 0 ist.

warum ist dann U der Kern?

Weil , wenn v aus dem Kern ist, bei den anderen Basisvektoren
(die nicht in U sind) dewr Faktor 0 ist.

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