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Ich bereite mich auf meine Analysis II Klausur vor und habe große Probleme mit diesen zwei Aufgaben:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung \( \frac{\partial}{\partial x}\left[f\left(x^{2}, y-x\right)\right] \), falls die Jacobi-Matrix von \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben ist durch
\( J_{f}(u, v)=\left(\begin{array}{ll} u & 1 \\ 0 & v \end{array}\right), \quad(u, v) \in \mathbb{R}^{2} . \)

Für \( f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, f(x, y)=g\left(x^{2}-y^{2}, x+y\right) \) berechnen Sie die Jacobi-Matrix \( J_{f}(1,1) \), falls \( g \in C^{1}\left(\mathbf{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}\right) \) ist mit

\( J_{g}(u, v)=\left(\begin{array}{ll} u & v \\ v & u \end{array}\right) \)

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Hi,
die Funktion \( f(x,y) \) kann man schreiben als, $$ f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}  $$ da \( f \) eine Funktion von \( \mathbb{R^2} \to \mathbb{R^2} \) ist. Die Jacobimatrix lautet dann
$$  J_f(x,y) = \begin{pmatrix}  \frac{\partial}{\partial x}f_1(x,y) & \frac{\partial}{\partial y}f_1(x,y) \\ \frac{\partial}{\partial x}f_2(x,y) & \frac{\partial}{\partial y}f_2(x,y) \end{pmatrix} $$ und da gilt
$$  J_f(u,v) = \begin{pmatrix}  u & 1 \\ 0 & v \end{pmatrix} $$ folgt aus \( \frac{\partial}{\partial x}f_1(u,v) = u \), dass gilt
\( f_1(x,y) = \frac{x^2}{2} + g(y) \) und aus \( \frac{\partial}{\partial y}f_1(u,v) = 1 \), dass gilt

\( f_1(x,y) = y + h(x)  \)
Wenn man diese beiden Ausdrücke für \( f_1 \) vergelicht, erhält man \( g(y) = y \) und \( h(x) = \frac{x^2}{2} \), also
$$ f_1(x,y) = \frac{x^2}{2} + y  $$
Aus die selbe Art bekommt man für \( f_2 \) den Ausdruck
$$ f_2(x,y) = \frac{y^2}{2}  $$
Damit hat man die Funktion \( f(x,y) \) bestimmt und kann nun \( \frac{\partial}{\partial x} f(x^2, y-x) \) ganz normal mit der Kettenregel ausrechnen und kommt auf
$$ \frac{\partial}{\partial x} f(x^2, y-x) = \begin{pmatrix} 2x^3-1\\x-y \end{pmatrix}  $$

von 37 k

Hätte da noch Fragen: Wie kommst du auf f1(x,y)=x2/2 + g(y) und anschließend auf y+h(x)? Woher nehme ich diese Funktionen bzw. wie komme ich darauf?

Hi,
das ist vergleichbar mit einer Integration im eindimensionalen. Dort gibt es eine Integrationskonstante die hier durch eine beliebige Funktion die nur von \( y \) abhängt, ersetzt wird. Wenn man \( f_1 \) nach \( x \) partiell differenziert, kommt wieder \( x \) raus. Das gleiche macht man bzgl. der partiellen Ableitung nach \( y \). Hier bekommt man sozusagen als Integrationskonstante eine beliebige Funktion die nur von \( x \) abhängt. Da aber beide Darstellungen der Funktion \( f_1 \) identisch sein müssen, gilt
$$ \frac{x^2}{2} + g(y) = y + h(x)  $$ Und das ist identisch, wenn \( g(y) = y \) und \( h(x) = \frac{x^2}{2} \)

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auf Unwissenheit stößt du hier nicht, Geduld ist eine Tugend.

Maximaler Ansatz:

Die Aufgaben beziehen sich einfach auf die Anwendung der Kettenregel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel

Du hast in beiden Fällen eine Verkettung von Funktionen. 

Gruß

von 23 k

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