Differenzierbarkeit und stetigkeit prüfen

Question

ich rechne gerade ein paar Aufgaben für die bevorstehende klausur. Und da ist mir aufgefallen, dass alle differenzierbaren funktionen auch stetig sind. ich habe gelernt:

f(x) = { x² für x>2, 4 für x=2, (x+2) für x<2}

dass wenn linksseitiger grenzwert ( 2²=4 ) = funktionswert ( 4 ) = rechtsseitiger grenzwert ( (2+2)=4 ), dann ist eine funktion stetig. Kann man das wirklich so pauschal sagen? und kann, wenn ich schauen will, ob eine funktion an der stelle differenzierbar ist, genau das gleiche einfach machen?

?

Answer 1

Hi,
Stetigkeit ist Voraussetzung für Differenzierbarkeit. D.h. eine nicht stetige Funktion kann nicht differenzierbar sein. Andersrum gilt aber nicht, jede stetige Funktion ist differenzierbar.
Wenn links- und rechtseitiger Grenzwert übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle stetig, das ist richtig.
Ähnliches gilt für Differenzierbarkeit, d.h. wennn der rechts- und linksseitige Grenzwert des Differenzenquotient gleich sind, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Answer 2

Stetigkeit ist ok.

Für differenzierbarkeit kannst du die linksseitige und rechtsseitige Ableitung
an der Stelle betrachten

von rechts:   f ' (x) = 2x  bei x=2 also  rechtsseitige Abl. 4
von links    f ' (x) = 1    bei x=2 also  linksseitige Abl. 1

Da beide verschieden sind:   f nicht diffb. bei x=2