finden sie die ganzrationale Funktion, deren Graph mit dem geg. Graph übereinstimmt

Question

Ich komm gerade nicht weiter bei dieser Aufgabe.

Ich habe die Punkte laut dem Graph geg. TP1(-2/-3); TP2(2/-3); HP3(0/1).... zwei Punkte gehen auf meiner Skitzze im Buch noch durch die Punkte P4(-3/3); P5(3/3)

Mein Ansatz ist, ich möchte eine Funktion 4. Grades nehmen, weil die Funktion 4 Nullstellen besitzt.

f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

bei einem Graph der achssymmetrisch brauch ich bx^3 und dx nicht weiter beachten

f(x)=ax^4+cx^2+e

der Punkt P3(0/1) verrät mir e, weil 1= null für x einsetzten ... e        also e=1

Jetzt dacht ich, ich muss auch ohne P4 und P5 auf die Lösung kommen, aber mein Erbebniss ist immer falsch.

Ich fange an mit P1 und setzte in die Funktion ein

-3=16a+4c+1

jetzt komm ich nicht mehr weiter, kann mir da jemand helfen ?

Comments

Du musst einen der Tiefpunkte und einen der Punkte P4 oder P5 nehmen, andernfalls hast Du zu wenig Informationen, da Du die Symmetrie schon verwendet hast und und die beiden genannten Punktpaare jeweils zueinander symmetrisch liegende Punkte enthalten.

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Hi, danke. Kannst du erklären warum nochmal bei der Symmetrie bx³ und dx rausfliegen, an einem Beispiel oder so ?

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ich komm dann auf die Lösung 

$$f(x)= \frac { 11 }{ 45 }x^4-\frac { 89 }{ 45 }x^2+1 $$

aber korrekter wäre doch, weil hier die Punkte ohne Komme genau passen..

f(x)= 0,25x^4-2x^2+1

wie kommt man darauf?

Answer 1

f ( 2 ) = -3
f ´( 2 )  = 0
f ( 0 ) = 1 ;
f ´( 1 )  = 0

Die Funktion hat 4 Nullstellen also 4.Grades ( siehe unten )

f( x ) = a*x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x  + e

Die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse ( siehe unten )

f ( x ) = a*x^4  + c * x^2  + e
f ( 0 ) = 1  => e = 1

f ( x ) = a*x^4  + c * x^2  + 1
f ´( x ) = 4 *a*x^3  + 2*c * x

f ( 2 ) = a*2^4 + c * 2^2 + 1 = -3
f ( 2 ) = 16 * a  + 4 * c  = -4

f ´( 2 ) = 4 * a *2^3 + 2*c*2 = 0
f ´( 2 ) = 32 * a  + 4*c = 0

16 * a  + 4 * c  = -4
32 * a  + 4 * c  = 0  | abziehen
------------------------
-16 * a = -4
a = 1/ 4

16 * a  + 4 * c  = -4
16 * 1/4  + 4 * c  = -4
4 + 4 * c = -4
4 * c = -8
c = -2

f ( x ) = 1/4 * x^4  -2 * x^2 + 1

Nachtrag :
die Funktion hat 4 Nullstellen
a,b,c,d werden jetzt neu verwendet
( x -a ) * ( x - b ) * ( x - c ) * ( x - d )
x^4 + x^3 + x^2 + x + e
Eine Funktion mit 4 Nullstellen ist also 4.Grades.

Achsensymmtrisch heißt
f ( x ) = f ( -x )
Der Funktionswert von x = 3 muß gleich dem Funktionswert von x = -3 sein

f = a*x^2 + b*x + c
x^2 ist für x=3 und x=-3 gleich
aber nicht für
b*x

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Comments

Nur mit einem Punkt gerechnet .... und der andere für das d. alles klar. Ich verstehe es jetzt so, dass wenn die Funktion achssymmetrisch sein soll, ''können nur Glieder vorkommen, bei denen der Funktionswert von zb.: 3 und -3 gleich ist, also mit geraden Exponenten'', weil sonst die Funkiton nicht symmetrisch ist. Richtig? Ich glaube, ich habe es wieder,ja. :)

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Richtig. mfg Georg