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Aufgabe:

Gegeben ist eine Schar von Funktionen \( f_{a} \) mit der Gleichung

\( f_{a}(x)=\left(a^{2} x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{-a x}, \quad x \in \mathbb{R} \)

wobei \( a \) eine positive reelle Zahl ist.

Der Graph der Funktion \( f_{1} \) wird in der Abbildung auf Seite 2 dargestellt.

(1) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion \( f_{a} \) mit den Koordinatenachsen.

(2) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f_{a} \).

[Zur Kontrolle: \( \left.f_{a}^{\prime}(x)=-a^{3} x \mathrm{e}^{-a x} ; \quad f_{a}^{\prime \prime}(x)=a^{3} \mathrm{e}^{-a x}(a x-1)\right] \)

(3) Begründen Sie, dass die Funktion \( f_{a} \) ein globales Maximum besitzt.


Ansatz/Problem:

Ich komme mit Funktionenscharen eigentlich gut klar. Jedoch weiß ich nicht, wie ich das vorzeichenwechselkriterium durchführen soll, weil ich ja für a keine konkrete Zahl habe. Ich habe hier eine Aufgabe wo ich für a immer 1 eingesetzt habe, weil die Kurve auch mit f1 gegeben war. Ob das in der Klausur allerdings richtig wär weiss ich nicht? Könntet ihr mir sagen, ob das richrig ist oder ob ich das anders zB mit der zweiten Ableitung macheb muss?

von

1 Antwort

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(1) Schnittpunkte mit der y-Achse:

fa(x)= (a2 *0+a)*e-a*0=a

Schnitt mit der x-Achse:

fa(x) =0

0= (a^2*x+a)*e^{-ax}

0= a^2 x+a        I-a

-a=a^2 x              I/a^2

-a/a^2 =x

x=-1/a

(2) Extrempunkte:

fa'(x)=0

0=-a^3 xe^{-ax}

x=0

fa''(0) = a^3 *1*(-1) = -a^3 <0

--> HP (0Ia)

Wendepunkte:

fa''(x)=0

0=a^3 e^{-ax} (ax-1)

0= ax-1 I+1

1=ax I/a

x= 1/a

WP (1/a I (2a)/e)

sorry, aber ich habe deine Frage leider nich so wirklich verstanden, habs jetzt einfach mal versucht zu lösen, ich hoff es sind nicht allzu viele fehler drin!

LG

von

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