Mit Quotientenregel ableiten... aber wie kürzen?

Question

Folgende Funktion ist angegeben: f(x)=x/(x+1)²

Diese muss man bekanntlich mit der Quotientenregel ableiten... nun alles gut. Aber sobald ich zu dem Punkt komme, bei dem man kürzen kann/darf/muss/soll, weiß ich einfach nicht weiter.

Weiter gehts:

f'(x)=g' * h - g * h'/h²

also: f'(x)=1 * (x+1)² - x * 2 * (x+1)/(x+1)⁴

Nun, meine Lehrerin sagt, hier könne bzw. müsse man hier kürzen!

Nun ein Schritt weiter und wir haben dann folgendes aufgeschrieben:

f'(x)= x+1-2x/(x+1)³

Jetzt die Frage: Wie zur Hölle kommt man vom vorletzten Schritt ⁴ auf ³? Wie wurde dieses Ergebnis im Nenner erreicht? Irgendwie habe ich einen Denkfehler irgendetwas fehlt mir...

Answer 1

f'(x)=g' * h - g * h'/h²

Da fehlen die Klammern :
f'(x)=(g' * h - g * h')/h²

Also :
f'(x)=((x+1)² - 2x *(x+1) )/ (x+1)⁴

Jetzt kannst du oben ausklammern :

f'(x)=(( (x+1) - 2x* )(x+1))/(x+1)⁴

Jetzt kannst du kürzen  und du hast das,was du haben wolltest.

Answer 2

f'(x) = [1 * (x+1)² - x * 2 * (x+1)] / (x+1)⁴ 

Bis hierhin alles prima, Du hattest aber vergessen, zusätzliche Klammern zu setzen - ich habe hier eckige genommen.

Nun kannst Du doch, wenn wir es schrittweise machen wollen, im Zähler und im Nenner (x + 1) ausklammern

f'(x) =[(x+1) * [(x + 1) - 2x] / [(x + 1) * (x + 1)³]

und wegkürzen, so dass wir letztlich haben:

f'(x) = (x + 1 - 2x) / (x + 1)³

= (1 - x) / (x + 1)³

Besten Gruß

Answer 3

also: f'(x)=1 * (x+1)² - x * 2 * (x+1)/(x+1)⁴

sondern
f'(x)= [ 1 * (x+1)² - x * 2 * (x+1) ]  / ( x + 1 )⁴

Zähler
1 * (x+1)² - x * 2 * (x+1)   | ausklammern von ( x + 1 )
( x + 1 ) * ( ( x + 1 ) - 2 * x )
( x + 1 ) * ( 1 - x )

Nenner
( x + 1 ) * ( x + 1 )³

und kürzen
[ ( x + 1 ) * (  1 - x ) ] / [ ( x + 1 ) * ( x + 1 )³]  | ein Mal kürzen
(1 -  x ) /  ( x + 1 )³