Binomialkoeffizient Fakultät Beweis

Question

ich suche eine Quelle wieso man

\( \left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}=\frac{n !}{k !(n-k) !} \quad 0<k \leq n \)

schreiben kann. Mir geht's darum, wie man von dem mittleren Bruch durch UMFORMUNG zum rechten Bruch kommt?

Ne Quelle, wo ich das nachlesen kann, wäre auch ok :D

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

n*(n-1)*(n-2)*...(n-k+1)
------------------------------
   1*2*3*........* k                  Kannst du erweitern mit (n-k) gibt

n*(n-1)*(n-2)*...(n-k+1)*(n-k)
---------------------------------------
   1*2*3*........* k    * (n-k)                Kannst du erweitern mit (n-k-1) gibt

n*(n-1)*(n-2)*...(n-k+1)*(n-k)(n-k-1)
-----------------------------------------------
   1*2*3*........* k    * (n-k) (n-k-1)               Kannst du erweitern mit (n-k-2)   etc

Wenn du das fortsetzt bis bei den roten Faktoren die 1 erreicht ist, hast du

n*(n-1)*(n-2)*...(n-k+1)*(n-k)(n-k-1)*....*2*1
----------------------------------------------------------
   1*2*3*........* k    * (n-k) (n-k-1)  *....*2*1       

Dann hast du oben alle Faktoren von n abwärts bis 1 also oben n!
und unten die schwarzen, das ist k! und die roten (n-k)!

Comments

Super, vielen Dank. Schau ich mir gleich an.