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ich habe folgende Matrix gegeben:  

4     -5     3

3     -4     3     = A

3     -5     4

und ich muss damit folgende Sachen bestimmen:

1) charakteristisches Polynom => da hab ich raus: x³-4x²+5x-2

2) Eigenwerte => da hab ich raus x=1, x=1 und x=2

3) Eigenvektoren => da hab ich raus x= (1,0,-1) und x=(1,1,1)

4) Berechnen Sie die Dimension der zu den Eigenwerten gehörenden Eigenräume und geben Sie jeweils eine Basis an. => Ich habe absolut keinen Plan, was ich machen soll.

5) Ist die Matrix diagonalisierbar? => Da kann ich doch nur eine Auskunft drüber geben, wenn ich 4) weiß, oder?

Wäre dankbar für jeden Tipp!
von

1 Antwort

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Beste Antwort

1) ist völlig korrekt.

Bei 2) stellt man fest, dass die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts x=1 zwei ist, damit die Matrix diagonalisierbar ist, muss also auch die geometrische Vielfachheit von x=1 zwei sein, d.h., es müssen zwei Eigenvektoren zu x=1 existieren.

3) Prüfen wir das: zu x=1 (mit dem Gaußalgorithmus):

$$ \left( \begin{array} { l l l } { 3 } & { - 5 } & { 3 } \\ { 3 } & { - 5 } & { 3 } \\ { 3 } & { - 5 } & { 3 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { r r r } { 3 } & { - 5 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Daran lassen sich zwei linear unabhängige Eigenvektoren ablesen, nämlich

v1 = (1, 0, -1)

v2 = (5, 3, 0)

Zu x=2 erhält man dann genau den Eigenvektor, den du bereits ausgerechnet hast:

v2 = (1, 1, 1)

4) Damit ist der Eigenraum zum Eigenvektor x=1 zweidimensional mit der Basis {v1, v2).
Idealerweise orthogonalisiert man die noch, das ist aber nicht zwingend nötig.

Der Eigenraum zum Eigenvektor x=2 ist eindimensional mit der Basis (v3).

5) Ja. Es existieren drei linear unabhängige Eigenvektoren, also ist die Basis diagonalisierbar.

von 10 k
Noch eine kurze Frage:

Wenn ich eine 2. Matrix hätte, die aber genau dasselbe charakteristische Polynom hat - muss ich dann nochmal alle Eigenvektoren ausrechenen oder bleiben die gleich?

Du musst die Eigenvektoren nochmal ausrechnen.
Nur die Eigenwerte sind dann dieselben. Ein (künstliches) Beispiel:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Beide Matrizen haben die Eigenwerte 2 und 1, aber A hat die Eigenvektoren

(1, 1)T und (0, 1)T,

B hat dagegen die Eigenvektoren

(1, -1)T und (0, 1)T

Vielen Dank für deine Hilfe!

Jetzt habe ich es endlich verstanden ;)

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