Diagonalähnliche Matrizen/Anwendungsbezug?

Question

es geht mir um folgenden Satz: Eine Matrix A heißt diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix B gibt, für die gilt:

D= B^-1 * A B

so weit so gut... meine Frage ist: Welchen Sinn hat das ganze? Welche praktischen Anwendungen gibt es dazu? ;)

Answer 1

Hi,

Ein Beispiel: Sagen wir du willst \( A^{20 } \) berechnen.

Es gilt in diesem Fall ja:

$$ A = B \cdot D \cdot B^{-1} $$

Dann ist

$$ A^{20} = (B \cdot D \cdot B^{-1})^{20} =B \cdot D^{20} B^{-1} $$

Und \(D^{20} \) ist meist viel einfacher zu berechnen als \(A^{20} \).

Bitte ein wenig durch den Kopf gehen lassen.

Gruß