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Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit.

\( g(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2^{x}-1}{x} & x \neq 0 \\ \ln 2 & x=0 \end{array}\right. \)


Lösungsversuch:

1) Funktionswert bestimmen:

\( \frac{2^{x}-1}{x}=\frac{2^{\ln 2}-1}{\ln 2}=\frac{2^{\ln 2}}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 2}=0,88 \)

2) Grenzwert bestimmen:

\( \lim \limits_{n \mapsto 0} \frac{2^{x}-1}{x} \text { ? } \)

3) Funktionswert mit Grenzwert vergleichen.


Ich versuche gerade zu verstehen, wie man die Stetigkeit von Funktionen nachweist.

Was genau muss man da machen? Ich habe nun gelesen das man den Funktionswert berechnet, dann den Grenzwert und die Ergebnisse dann vergleichen soll. Wie würde das denn aber nun bei der Aufgabe beispielsweise aussehen? Nimmt man nun die Funktion oben und setzt für x nun ln 2 ein?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Den Funktionswert brauchst du nicht zu "bestimmen", der ist ja angegeben:

Für x=0 ist es ln(2).

Grenzwert für x gegen o ist bei dem Bruch von der Form 0 / 0, also muss man entweder pfiffig umformen oder z.B. d'Hospital
anwenden.

Im letzteren Fall hieße das: Ableitung vom Zähler und Nenner des Bruches einzeln bilden, ergibt:

ln(2)*2^x / 1

und der GW für x gegen 0 ist ln(2), also f stetig bei x=0.

von 258 k 🚀

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