Bestimmung der Wendetangenten für ft(x) = 1/t * e-tx²

Question

Aufgabe Funktionenscharen:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{t}$ mit $f_{t}(x)=\frac{1}{t} e^{-tx^2}$ mit $t>0$.

14.1 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $t>0$ die Extrema sowie die Gleichung der Wendetangenten. Skizzieren Sie für $t=\frac{1}{4}$ die Graphen zu $f_{t}$ und $f_{t}^{\prime}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.

14.2 Bestimmen Sie für $t>0$ den Schnittpunkt $S_{t}$ der Graphen zu $f_{t}$ und $f'_{t}$. Ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve aller Schnittpunkte $\mathrm{S}_{\mathrm{t}}$ mit $\mathrm{t} \in \mathbb{R}_{+}^{*}$. Zeigen Sie, dass es einen Wert für $\mathrm{t}$ gibt, sodass $\mathrm{S}_{\mathrm{t}}$ mit einem Wendepunkt des Graphen $\mathrm{f}_{\mathrm{t}}$ zusammenfällt.

14.3 Zeigen Sie, dass je 2 Graphen der Schar $\mathrm{f}_{\mathrm{t}}$ keinen gemeinsamen Punkt haben.

Ansatz/Problem:

Ich möchte die Wendetangente bestimmen, jedoch fallen in meiner Rechnung die Extremstelle und die Wendestelle zusammen (bei x = 0), was ja nicht sein kann.

Außerdem habe ich Probleme zu zeigen, dass die Graphen der Schar keinen gemeinsamen Punkt haben. Mein Lehrer meint ich soll je zwei verschiedene Variablen für t einsetzen und dann die beiden Gleichungen gleichsetzen, aber ich komm da nicht weiter.

Answer 1

in meiner Rechnung die Extremstelle und die Wendestelle zusammenfallen (bei x = 0) was ja nicht sein kann.

Zeig doch mal, was du gemacht hast. Vermutlich falsch abgelitten?

Comments

Du hast recht. Engel1 sollte bei der 2. Ableitung die Produktregel verwenden und ein Summe rausbekommen.

Der Summand    ... + (-2)*e^{-tx^2}  fehlt in f _(t)''(x)