Beweise mithilfe der vollständigen Induktion. Produkt (1 - 1/k) = (2n-1)/(3n)

Question

Dies soll bewiesen werden. $$ \prod _{ k=2n }^{ 3n }{ (1-\frac { 1 }{ k }  } )=\frac { 2n-1 }{ 3n } $$ für n ≥ 1

Induktionsanfang: für n hab ich 1 eingesetzt.

$$ \frac { 1 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } $$ und soweit eine wahre Aussage.

Induktionsbehauptung: $$ \prod _{ k=2(n+1) }^{ 3(n+1) }{ (1-\frac { 1 }{ k }  } )=\frac { 2(n+1)-1 }{ 3(n+1) } =\frac { 2n+1 }{ 3n+3 } $$

Induktionsbeweis:

$$ \prod _{ k=2(n+1) }^{ 3(n+1) }{ (1-\frac { 1 }{ k }  } )=(\frac { 2n-1 }{ 3n } )*(1-\frac { 1 }{ 3(n+1) } )=(\frac { 2n-1 }{ 3n } )*(\frac { 3n+3 }{ 3n+3 } -\frac { 1 }{ 3n+3 } ) $$

$$ =\frac { 6{ n }^{ 2 }+4n-3n-2 }{ 9{ n }^{ 2 }+9n } =\frac { n(6n+1)-2 }{ n(9n+9) } =\frac { 6n-1 }{ 9n+9 } $$

jetzt noch mit 3 dividieren. $$ \frac { 2n-\frac { 1 }{ 3 }  }{ 3n+3 } $$

Wie man sieht stimmt hier etwas nicht. Ich weiß nur nicht was und würde mich über Hinweise,Tipps freuen.

Answer 1

Da sind gleich mehrere Fehler drin. Der Induktionsschritt an sich ist schon falsch da du deine Voraussetzung falsch eingesetzt hast. Bedenke, dass gilt:

$$ \prod_{k = 2(n+1)}^{3(n+1)} \left(1-\frac{1}{k} \right) \\ = \left(  \prod^{3n}_{k = 2n}\left(1-\frac{1}{k} \right) \right) \cdot \left( \prod_{k = 3n + 1}^{3n+3} \left(1 - \frac{1}{k} \right) \right) \cdot \left( \prod_{k = 2n}^{2n+1} \left(1 - \frac{1}{k} \right) \right)^{-1}$$

Habs mal extra ausführlich aufgeschrieben weil ich den Code vorher verhunzt habe :). Das ist nicht so schlimm wie es aussieht es kürzt sich ja im Grunde alles größtenteils weg, aber wenn du das so machen möchtest dann kriegst du es auch so hin.

Comments

Danke für die Antwort. Allerdings werde ich daraus nicht ganz schlau.

Hierbei handelt es sich schon um den Beweis ?

Und wie du auf die k bzw. n der beiden letzten Produkte kommst und bei letzterer auf den Exponent -1.

Also

$$ (\prod _{ 3n+1 }^{ 3n+3 }{ (1-\frac { 1 }{ k }  }) ) $$
und
$$ ({ \prod _{ 2n }^{ 2n+1 }{ (1-\frac { 1 }{ k }  } ) })^{ -1 } $$

Gekürzt habe ich $$ \frac { 6{ n }^{ 2 }+n-1 }{ 6{ n }^{ 2 }+6n } $$

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Mach dir klar was hier im grunde passiert:
In deiner Induktionsbehauptung zeigst du die Gültigkeit der Formel für das Produkt für den Fall das k = 2n bis 3n.
In deinem Induktionsschritt willst du die Formel für den Fall, dass k = 2n+2 bis 3n+3 geht, zeigen. Damit du dies auf den Fall k = 2n bis 3n zurückführen kannst musst du die Faktoren im Fall k = 3n+1 bis 3n+3 also aus dem Produkt rausziehen und Faktoren für den Fall k = 2n bis 2n+1 dividieren.

Schreib dir wie gesagt alle Faktoren mal sauber auf und dann kannst du sehr viel aufeinmal kürzen.