Bräuchte die erste Ableitung dieser Funktion! f(x) = (x^2-2)^4*√(x^2 + 1)

Question

Benötige die erste Ableitung dieser Funktion:

\( \left(x^{2}-2\right)^{4} · \sqrt{x^{2}+1} \)

 Bitte auch um ausführliche beschreibung der angewandten Regeln, damit ich es gut nachvollziehen kann.

Answer 1

f(x) = (x^2 - 2)^4 * √(x^2 + 1)

u(x) = (x^2 - 2)^4
u'(x) = 4 * (x^2 - 2)^3 * 2x = 8x * (x^2 - 2)^3

v(x) = √(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^{1/2}
v'(x) = 1/2 * (x^2 + 1)^{-1/2} * 2x = x / √(x^2 + 1)

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
f'(x) = 8x * (x^2 - 2)^3 * √(x^2 + 1) + (x^2 - 2)^4 * x / √(x^2 + 1)
f'(x) = (8x * (x^2 - 2)^3 * (x^2 + 1) + (x^2 - 2)^4 * x) / √(x^2 + 1)
f'(x) = x * (x^2 - 2)^3 * (8 * (x^2 + 1) + (x^2 - 2)) / √(x^2 + 1)
f'(x) = x * (x^2 - 2)^3 * (9·x^2 + 6) / √(x^2 + 1)

Comments

Warum hebt sich die wurzel aus x^2+1 auf?

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Weil ich den einen Term auch auf den Bruch ziehe und dann mit der Wurzel erweitern muss.