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ich schreibe am dienstag eine matheklausur und beim üben bin ich bei der aufgabe nicht weitergekommen: Berechnen sie das integral von 3x^2 mithilfe des obersummenverfahrens im intervall von 0 bis 4. brauche schnelle hilfe! :D

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2 Antworten

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Ich habe GeoGebra genutzt !!

f(x) =3x²  ,    a = 0  ,  b = 4 , n = 20  --------> Obersumme 68,88 FE !

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f(x) = 3x^2

1. Skizziere die Funktion und stelle fest, dass du die rechten Funtionswerte als Höhen Streifenrechtecke brauchst.

Nimm n gleichbreite Säulen und lasse dann n gegen unendlich gehen.

Säulen: Breite immer 4/n

Höhe: 

h1 = 3*(4/n)^2

h2 = 3*(2*(4/n))^2

....

hn = 3*(n* (4/n))^2

O_(n)=  | ich klammere schon mal die Breite aus 

= (4/n) * (3*(4/n)^2 +3*(2*(4/n))^2+ ... + 3*(n* (4/n))^2 )      | 3(4/n)^2  auch noch ausklammern

= (4/n) * (3*(4/n)^2 +3*(2*(4/n))^2+ ... + 3*(n* (4/n))^2 )  

= 3*(4/n)^3 ( 1 + 2^2 + 3^2 + ....+ n^2) 

Jetzt kennst du bestimmt die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen (wird bei den Induktionsbeweisen bewiesen). Setze sie ein. Herleitung z.B. hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm

Es entsteht ein Bruchterm, dessen Grenzwert du dann recht einfach bestimmen kannst.

3*(4/n)3 ( 1 + 22 + 32 + ....+ n2) ; 


= 3*(4/n)3 ( n(n+1)(2n+1) / 6 )  ; 

= (3*4^3 * n(n+1)(2n+1)/ (6n^3) ;   
= (4^3 * (n+1)(2n+1)/ (2n^2) = (4^3 (2n^2 + n + 2n + 1)) / (2n^2)        |oben und unten durch n^2 ;

  = 4^3 * (2 + 1/n + 1/n^2) / (2) ;      

  Grenzwert n---> unendlich ;   
  F = 4^3 * (2+0+0)/2 = 4^3 = 64   ; EDIT: Strichpunkt markiert Zeilenende, da die Umbrüche beim Speichern verschwinden.
von 162 k 🚀

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