Grenzwert von rechts: limx→0+ √((1/x)+1) ( √((1/x)+a) - √((1/x)+1) )

Question

Ich habe keine Idee wir ich hier vorgehen könnte.

limx→0^{+}  √((1/x)+1)  ( √((1/x)+a)  -   √((1/x)+1) )           a  ∈  ℝ

Answer 1

Entscheidend ist hier die Anwendung der dritten binomische Formel:

$\lim_{x \to 0^{+}} (\sqrt{\frac{1}{x}+1})\big(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}+1}\big)=\lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{\frac{1}{x}+1}\frac{(\frac{1}{x}+a)-(\frac{1}{x}+1)}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}}=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\big(\sqrt{\frac{1}{x}+1}\big)(a-1)}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}}=\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{a-1}{\dfrac{\sqrt{\frac{1+xa}{x}}}{\sqrt{\frac{1+x}{x}}}+1}=\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{a-1}{\frac{\sqrt{1+xa}\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}\sqrt{x}}+1}=\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{a-1}{\frac{\sqrt{1+xa}}{\sqrt{x+1}}+1}=\frac{a-1}{2}$

Comments

Vielen Dank

Ich habe eigentlich mehrere fragen aber das erste was ich nicht verstehe ist der 1. schritt zum 2.

Habe versucht die 3.binomische formel anzuwenden aber auf ihr ergebnis komme nicht.Können Sie mir das etwas näher erläutern?

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alles klar bin selbst drauf gekommen.

aber am anfang deiner letzten zeile fehlt glaube ich das im nenner die division der wurzeln fehlt

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Welchen Schritt meinst du? Ich kann keinen Fehler entdecken. Ich habe mit $\sqrt{x}$ gekürzt.

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aber wieso haben sie √x neben  √(1+xa) gesetzt? Muss man nicht (√x) / √(1+xa)  und dann kürzen?

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Ich habe den Doppelbruch aufgelöst.

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$\dfrac{\sqrt{\frac{1+xa}{x}}}{\sqrt{\frac{1+x}{x}}}=\dfrac{\frac{\sqrt{1+xa}}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}}=\dfrac{\sqrt{1+xa}\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{1+xa}}{\sqrt{x+1}} \to \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}=\dfrac{1}{1}=1$

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alles klar. Vielen dank für die Lösung