Exponentialfunktion f mit f(x) = x * e^-x

Question

Hallöchen -

ich bin gerade am Schreibtisch und fühl mich so Hilflos, weil ich in letzter Zeit zu viel gefehlt habe. Kann mir jemand diese drei Aufgaben von Schritt zu Schritt erklären damit ich beim nächsten mal selbstständig Aufgabe lösen kann? Ich wäre euch sehr dankbar :-)


Durch die Funktion f mit f(x) = x * e^-x , x ≥ 0 ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben. Sie beschreibt die Nutzungsdauer des Erstbenutzers eines bestimmten Autotyps in Jahren.

1. Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
2. Weisen Sie nach, dass F(x) = (-x-1) * e^-1 eine Stammfunktion von f ist.
3. Wie viele von 250 Erstbenutzern werden das Auto länger als 4 Jahre nutzen?

Answer 1

Durch fröhliches Ab und Aufleiten findet man manchmal einfache Muster:
$$ \begin{aligned} F(x) &= -\left(x-(-1)\right)\cdot\text{e}^{-x}\\\,\\ f(x) &= +\left(x-0\right)\cdot\text{e}^{-x}\\\,\\ f'(x) &= -\left(x-1\right)\cdot\text{e}^{-x}\\\,\\ f''(x) &= +\left(x-2\right)\cdot\text{e}^{-x}\\\,\\ f'''(x) &= -\left(x-3\right)\cdot\text{e}^{-x}\\\,\\ f^{(4)}(x) &= +\left(x-4\right)\cdot\text{e}^{-x}\\\,\\ f^{(5)}(x) &= -\left(x-5\right)\cdot\text{e}^{-x} \end{aligned} $$
Alle Funktionen haben genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.