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1.Aufgabe: Gegeben sei die Funktion f mit :

f(x)= 9x^4-86x^3+261x^2-300x+100

a) Zeigen Sie, dass x=2 eine doppelte Nullstelle von f ist
b) Ermitteln Sie die weiteren Nullstellen von f.
c) Bestimmen Sie alle Extremwerte von f (beachten Sie dabei a)).
d) Welche dieser Extremwerte sind Maxima, welche Minima?
e) Berechnen Sie die Wendestellen von f, und zeigen Sie, dass es sich dabei um echte Wendestellen handelt.
f) Skizzieren Sie den Graphen von f.

g) Wie könnte man die y-Werte bestimmen, die nicht im Wertebereich von f liegen? Beschreiben Sie nur wie man dabei vorgehen müsste.

2.Aufgabe: Gesucht ist ein Polynom 3.Grades, das durch den Ursprung verläuft und bei x= -2 ein Maximum besitzt. Weiterhin hat dieses Polynom bei x= -1/2 eine Wendestelle, und bei x=2 ist seine Steigung parallel zu der Geraden g mit der Gleichung: g: y=4x+17. Ermitteln Sie die Gleichung dieses Polynoms.

3.Aufgabe: Der Graph der Funktion p : y= (x-4)^2 schließt zusammen mit der x- und der y-Achse eine Fläche ein. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt. In diese Fläche soll ein maximales Rechteck eingebaut werden, von dem zwei Seiten auf der x- bzw. auf der y-Achse liegen sollen, und dessen eine Ecke auf dem Graphen der gegebenen Funktion zu liegen kommt. Wie lauten die Seiten a, b des gesuchten Rechteckes?

4.Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen:

a) f(x)=x+5/ Wurzel von x^2+1 b) f(x)=(sin(Wurzel von x^2+2x+5))^2

von

Hast du denn eigene Lösungsansätze? Wenn ich dir das jetzt hier vorrechne, beherrscht du es schlussendlich auch nicht.

1 Antwort

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1a-f):

a) Führe Polynomdivision durch: \((9x^4-86x^3+261x^2-300x+100):(x-2)^2=(9x^4-86x^3+261x^2-300x+100):(x^2-4x+4)\)

b) Bestimme die Nullstellen des Ergebnisses der Polynomdivision (z.B. durch Mitternachtsformel).

c) Leite \(f\) ab, benutze die Nullstellenform von \(f\), um schneller die Nullstellen der Ableitung zu ermitteln.

d) Leite \(f'\) ab. Setze die Nullstellen der Ableitung in \(f^{(2)}\) ein und bestimme, ob \(f^{(2)}\) an dieser Stelle positiv oder negativ ist, um herauszufinden, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt.

e) Finde die Nullstellen von \(f^{(2)}\), leite \(f^{(2)}\) ab und setze die Nullstellen von \(f^{(2)}\) in \(f^{(3)}\) ein (für echte Wendestellen muss \(f^{(3)}\neq0\) sein.

f) Setze Werte in \(f\) ein und zeichne die Funktion.

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