Wie viele Einheiten von Gut 1 und wie viele Einheiten von Gut 2 werden hergestellt?

Question

Nehmen Sie an, die Produktionsmöglichkeiten der Güter 1 (x₁) und 2 (x₂) können mittels der foldenden Produktionsmöglichkeitenkurve abgebildet werden:

x₁= 32 - 0,5 x₂⁴

Wie viele Einheiten von Gut 1 und wie viele einheiten von Gut 2 werden hergestellt, wenn der Preis für eine Einheit von Gut 1 p₁=3 und der Preis für eine Einheit von Gut 2 p₂= 48 beträgt? 

Die Antwort sollte sein:

GRT₁₂= -dx₁/dx₂ = p₂/p₁

_{Meine Frage: Wiso stellen wir diese Gleichung ein?}

Dann leitet man x₁-Gleichung nach x₂ ab, aber warum?

2x₂³= 48/3= p₂/p₁ ( wiso ist es p₂/p₁ und nicht anders um?)

Letzendlich lautet die Antwort: x₂= 2, x₁=24

Comments

Hin und wieder hilft der vollständige Text der Aufgabe ein wenig weiter ...

Answer 1

Du hast die Produktionsmöglichkeitenkurve

x = 32 - 0.5·y^4

Stelle ich jetzt mal eine Gleichung für den Erlös auf

E = 3·x + 48·y

Hier setze ich für x den Teil der Produktionsmöglichkeitenkurve ein

E = 3·(32 - 0.5·y^4) + 48·y = - 3·y^4/2 + 48·y + 96

Nun haben wir nur noch eine Unbekannte und können den Erlös ableiten um die Stelle zu finden an der der Erlös extremal ist.

E' = 48 - 6·y^3 = 0 --> y = 2

Damit kann ich jetzt auch x berechnen

x = 32 - 0.5·y^4 = 32 - 0.5·2^4 = 24

Man solle 24 Einheiten von P1 und 2 Einheiten von P2 herstellen damit der Erlös maximal wird.

Die Formel könnte man sich wohl allgemein herleiten. Entweder solltet ihr euch die selber herleiten oder ihr habt die bereits in der Vorlesung oder im Skript mathematisiert. Schau doch dort zuerst mal nach.

Du kannst auch mal probieren die Formel selber herzuleiten indem du das was ich da oben direkt mit dem Beispiel gemacht habe, nur mit den Funktionen und den allgemeinen Preisen machst.

Da ich Es schlimm finde mit x1 und x2 zu rechnen habe ich oben x und y genommen. Als allgemeine Preise hätte ich dann auch p und q genommen.