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Wie kann ich eine Matrix auf Definitheit untersuchen? Wie also sehe ich, ob eine Matrix positi/negativ definit oder semidefinit ist? Kann mir das jemand anschaulich an einem Beispiel erklären? Ich verzweifle an dem Thema.

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Ich beschränke mich mal beispielhaft auf den reellen Fall.

Eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n\times n} \) heißt

\( \bullet \) positiv definit, falls \( x^T A x > 0 \),

\( \bullet \) positiv semidefinit, falls \( x^T A x \geqslant 0 \),

\( \bullet \) negativ definit, falls \( x^T A x < 0 \),

\( \bullet \) negativ semidefinit, falls \( x^T A x \leqslant 0 \),

für alle Spaltenvektoren \(x \in \mathbb{R}^n \) gilt.

Wenn \(A\) symmetrisch ist gilt

\( \bullet \) positiv definit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(>0\),

\( \bullet \) positiv semidefinit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(\geqslant0\),

\( \bullet \) negativ definit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(<0\),

\( \bullet \) negativ semidefinit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(\leqslant0\),

\( \bullet \) indefinit \(\Leftrightarrow\) Es gibt positive und negative EW


Weiterhin gilt folgender Satz:

Eine beliebige (also nicht zwangsläufig symmetrische) Matrix ist genau dann positiv definit (analog für negativ definit etc), wenn ihr sogenannter symmetrischer Anteil

$$ A_s = \frac{1}{2} (A+A^T) $$

positiv definit (bzw. negativ definit etc.) ist.


Es genügt also aufgrund dieses Satzes insgesamt nur symmetrische Matrizen zu betrachten, da \( A_s\) offensichtlich symmetrisch ist. Also:

Bei symmetrischen Matrizen Eigenwerte anschauen!

Bei beliebigen Matrizen die Eigenwerte von \(A_s = \frac{1}{2}(A + A^T) \) anschauen!



Beispiel: Einheitsmatrix ist positiv-definit, da symmetrisch und der einzige Eigenwert 1 ist.

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Erstmal danke für die ausführliche Erläuterung. Werde das mal auf einige konkrete Beispiele versuchen anzuwenden und bei Bedarf noch einmal nachfragen. Klingt sehr verständlich, was du geschrieben hast!

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