Ich beschränke mich mal beispielhaft auf den reellen Fall.
Eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n\times n} \) heißt
\( \bullet \) positiv definit, falls \( x^T A x > 0 \),
\( \bullet \) positiv semidefinit, falls \( x^T A x \geqslant 0 \),
\( \bullet \) negativ definit, falls \( x^T A x < 0 \),
\( \bullet \) negativ semidefinit, falls \( x^T A x \leqslant 0 \),
für alle Spaltenvektoren \(x \in \mathbb{R}^n \) gilt.
Wenn \(A\) symmetrisch ist gilt
\( \bullet \) positiv definit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(>0\),
\( \bullet \) positiv semidefinit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(\geqslant0\),
\( \bullet \) negativ definit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(<0\),
\( \bullet \) negativ semidefinit \(\Leftrightarrow\) Alle Eigenwerte \(\leqslant0\),
\( \bullet \) indefinit \(\Leftrightarrow\) Es gibt positive und negative EW
Weiterhin gilt folgender Satz:
Eine beliebige (also nicht zwangsläufig symmetrische) Matrix ist genau dann positiv definit (analog für negativ definit etc), wenn ihr sogenannter symmetrischer Anteil
$$ A_s = \frac{1}{2} (A+A^T) $$
positiv definit (bzw. negativ definit etc.) ist.
Es genügt also aufgrund dieses Satzes insgesamt nur symmetrische Matrizen zu betrachten, da \( A_s\) offensichtlich symmetrisch ist. Also:
Bei symmetrischen Matrizen Eigenwerte anschauen!
Bei beliebigen Matrizen die Eigenwerte von \(A_s = \frac{1}{2}(A + A^T) \) anschauen!
Beispiel: Einheitsmatrix ist positiv-definit, da symmetrisch und der einzige Eigenwert 1 ist.
