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Ich verstehe folgendes Beispiel auf Wikipedia nicht. Und zwar ist mir nicht klar, wie ich von der zweiten zur dritten Zeile komme, also wie ich das Integral bekomme. Hoffe, mir kann das hier einer erklären. 

Und noch eine Frage habe ich. Muss ich bei dieser Methode zwingend auch die Umkehrfunktion bilden, also gehört das dazu?

Das folgende ist Original das Beispiel aus Wikipedia:

Gesucht sei die Lösung y des Anfangswertproblems

y' = xy^2 + x\ ,\ y(0) = 1\ .

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

y' = x(y^2 + 1)\ .

Setze also

\Phi(y) := \int_1^y\frac{1}{1+s^2}{\rm d}s = \arctan y - \arctan 1 = \arctan y - \frac{\pi}{4}\ .

Die Umkehrfunktion lautet

\Phi^{-1}(y) = \tan\left(y + \frac{\pi}{4}\right)\ .

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

y(x) = \tan\left(\int_0^xs{\rm d}s + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\ . §
von

hihuschiha ;)

Hast du vielleicht auch eine Idee dazu?

2 Antworten

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Beste Antwort

Ja musst du. Ich mache es mal ganz allgemein, das macht es zwar etwas abstrakt aber wenn du es verstehst, dann hast du es vermutlich danach "besser" verstanden als mit konkreten Beispielen.

Bei einer trennbaren DGL handelt es sich um eine DGL der Form

$$ x' = g(t)h(x) \tag{1} $$

oder in ausführlicher Schreibweise

$$ x'(t) = g(t)h\left( x(t) \right) $$

Beachte, dass \(x\) ist eine Funktion ist, die von \(t\) abhängt und \(x'\) hängt auch von \(t\) ab.

Falls \(h\) eine Nullstelle \(x_0\) hat, so ist \( x(t)\equiv x_0 \) eine Lösung der DGL (sofern dir das nicht klar ist, versuch es zu verstehen, bei Rückfragen melden). Um alle anderen Lösungen zu finden, kann man also nun bei (1) durch \(h(x)\) teilen und erhält so

$$ \frac{x'}{h(x)} = g(t) $$

und nach dem Hauptsach der Differential- und Integralrechnung folgt daraus

$$\int \frac{x'(t)}{h(x(t))} \, dt=\int g(t)\, dt .$$

Durch die Substitution \( u=x(t) \) erkennt man, dass dies äquivalent zu

$$ \int \frac{1}{h(u)}\, du = \int g(t) \, dt $$

ist. Sei \(G\) eine Stammfunktion von \(g\) und \(H\) eine Stammfunktion von \(\frac{1}{h}\). Dann erhält man schließlich

$$ H(u) = G(t) + c, ~c\in\mathbb{R} $$

$$\Leftrightarrow \quad H(x(t)) = G(t) + c$$

Um die Lösung \(x(t)\) zu finden, muss man also jetzt auf beiden Seiten die Umkehrfunktion von \(H\) anwenden. Voraussetzung ist natürlich, dass diese existiert. Wenn das nicht der Fall ist, kann man auf diesem Wege die Lösung nicht explizit berechnen.

von 1,7 k

Danke für deine Hilfe! Ich kann zumindest nachvollziehen, was du mir erklärt hast und kann das jetzt auch auf das Beispiel aus Wikipedia übertragen. Weißt du vielleicht eine Seite im Internet, wo ich zu dem Thema Übungsaufgaben finde. Ich glaube, ich brauche zu dem Thema einfach viel Übung. 

Leider kenne ich keine derartige Seite. Ich hätte dir jetzt einen Link gegeben zu der Vorlesungsseite der DGL-Vorlesung, die ich gehört habe, da dort Übungsaufgaben mit Lösungen öffentlich zugänglich waren, aber leider wurde das aus dem Netz genommen.

Ich würde an deiner Stelle einfach Übungen von irgendwelchen Professoren im Netz suchen, die Lösungen kannst du ja z.B. mit Maple, WolframAlpha etc. kontrollieren. Falls Probleme auftreten kannst du dann ja hier nachfragen.

Okay, dann versuche ich mal was zu finden. Danke für deine Hilfe!

+1 Daumen

Also wie das auf Wikipedia steht , so berechnet wohl kaum einer DGL mit Separation.

:-)

Ich hab dasBild Mathematik so gerechnet .

von 112 k 🚀

Danke auch für deine Mühe!

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