Kurve in Parameterdarstellung: Schnittpunkte mit Achsen

Question

Aufgabe:

Ich soll die Schnittpunkte dieser Kurve mit den Koordinatenachsen sowie die Tangentenrichtung in diesen Punkten bestimmen.

Gegeben ist folgende Kurve in Parameterdarstellung:

\( x(t)=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}, \quad y(t)=t \cdot x(t) \)

Als Lösung wird (0,0) für den Schnittpunkt und einmal -1 und 1 für die Tangentensteigung angegeben.

Wie gehe ich da denn genau vor?

Eigentlich dachte ich, ich setz einmal x(t)=0 und einmal y(t)=0, so komm ich aber nicht wirklich auf die Lösung.

Für die Tangentensteigung müsste ich die ich die Schnittpunkte dann in die Ableitungen einsetzen, oder?

Answer 1

Eigentlich dachte ich, ich setz einmal x(t)=0 und einmal y(t)=0, so komm ich aber nicht wirklich auf die Lösung.

Doch das kommt schon gut.

Bedenke: Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner nicht 0 ist. Dein Nenner kann gar nie 0 sein. Daher t^2 -1 = 0 ==> t = ±1 links und rechts einsetzen.

Bei y(t)= 0 musst du rechts x(t) einfach noch einsetzen / reindenken.

Zusätzliche Möglichkeit ist nun noch t= 0. t = ±1 bleibt als Nullstelle.

Comments

Ja, die Nst. hab ich so auch raus. Verstehe nur nicht warum in der Lösung (0;0) steht. 

Bzw. wie komme ich dann auf die Tangentensteigung von -1 und 1?

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 Verstehe nur nicht warum in der Lösung (0;0) steht. 

t=0 ==> x=-1/2 und y=0 , P(-1/2 | 0)

t = 1 und t=-1 ==> x = 0 und y = 0, Q(0 | 0) 

Das mit der Steigung kommt eventuell später. Bin noch unterwegs.

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Steigung:

x(t) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1)

dx / dt = 4t / (t^2 + 1)^2

y(t) = t * (t^2 -1) / (t^2 + 1)

dy/dt = (t^4 + 4t^2 - 1) / ( t^2 + 1)^2

t = 1 und t = -1

dx/dt = 4/2^2 = 1

dy/dt = (1+4-1)/2^2 = 1

dy / dx = (dy/ dt ) / (dx/dt) = 1/1 = 1

t = 0

dy / dt = -1 / 1 = -1

dx / dt = 0 / 1 = 0         

jetzt kann ich aber nur dx / dy = (dx/dt) / ( dy/dt) = 0 / -1 = 0 ausrechnen und komme zum Schluss, dass die Tangente in P(-1/2 | 0) parallel zur y-Achse verläuft. ( dy / dx ist somit keine endliche Zahl)