Geometrische Reihe Grenzwerte: ∑ 6/5^n (n von 1 bis ∞)

Question

Hier mal ein Frage zum Grenzwert dieser Reihe (beginnt bei 1  bis ∞ )

∑ 6/5ⁿ

Ich habe es jetzt so auseinander gezogen + das  Kriterium der geometrischen Reihe angewandt (q= a*1/1-q)

6 ∑(1/5)ⁿ = 6* 1/ 1- (1/5) = 10 > 1 das bedeutet divergent

in der Lösung ist leider kein rechen weg angegeben aber da steht 1,5

Kann mir jemand helfen :)

Answer 1

Hattest du die Frage nicht schonmal drin?

1. Hat die geometrische Reihe nix mit den anderen Konvergenzkriterien zu tun, d.h. du musst nicht schauen ob am Ende ein Wert kleiner als 1 rauskommt. Der Wert den du mit Hilfe der geometrischen Reihe errechnest ist der Wert der Summe!

2. Fängt deine Summe bestimmt bei n=1 an, deswegen der Wert aus der Lösung!

Comments

Kannst du mir gegebenenfalls einmal aufschreiben wie ich das dann anständig Beweise mein Prof ist sehr pingelig was Formfehler an geht.

Das wäre echt super nett :)

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Anständig beweisen? Hier reicht m. E. nach einfach die Rechnung.
Am Ende \( ... = 1.5 < \infty \Rightarrow \text{Reihe konvergiert} \)Das wars.

Answer 2

Eine formal anständige Rechnung könnte wie folgt aussehen:$$\sum_{n=1}^\infty\frac6{5^n}=6\cdot\sum_{n=1}^\infty\frac1{5^n}=6\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty\frac1{5^n}-\sum_{n=0}^0\frac1{5^n}\right)=6\cdot\left(\frac1{1-\frac15}-1\right)={\frac32.}$$

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Danke genau das habe ich gebraucht :) endlich verstanden !!