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Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung bijektiv ist:

\( \begin{aligned} f: & \mathrm{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \\(n, m) & \mapsto 2^{n-1}(2 m-1) \end{aligned} \)

von

1 Antwort

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Natürlich.

Injektivität:

Seien a,b ∈ IN.

f(a) = f(b) ⇔

2^{a-1} (2a -1) = 2^{b-1} (2b - 1) ⇔

(2^{a-1})/(2^{b-1}) = (2a - 1)/(2b - 1) (Das ist eine ungerade Zahl) <=>
a-1 = b-1 (Denn 2^x ist nur ungerade, wenn x = 0 ist) <=>
a=b
Surjektivität:

Benutze Primzahlzerlegung bzw. Deren Existenz...


gruß...
von 4,8 k
Was soll denn  f(a) = f(b)  bedeuten? Die Funktion  f  hat hier zwei Argumente.
Wie, f(a) = f(b) bedeutet sowas wie:

1^2 = (-1)^2 wenn f(x) = x^2 wäre. Das ist eine Gleichung, eine ganz normale.
Wo ist denn das zweite Argument?
Bist du der Fragesteller???

Es gibt zwei Argumente a und b. Das eine ist a, das andere ist b. Was genau verstehst du nicht?
Definitionsmenge ist hier  ℕ × ℕ. Zahlenpaaren werden Zahlen zugeordnet. Z.B. ist  f(1,2) = 3.

Da ist alles detailiert erklärt: http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=179217

Surjektivität
die Primzahlzerlegung ergibt das sofort; sei eine Zahl gegeben durch
Z=abc...d
fasse alle ungeraden Faktoren zusammen, das gibt irgendeine ungerade Zahl, die man mit (2n+1) erzeugen kann.
alle restlichen Faktoren sind nur Zweier, also 2^m, die ungeraden haben wir ja schon verarztet.
Das beweist die Surjektivität

Zur Injektivität, ein einfacherer Zugang:
2^m(2n+1)=2^m'(2n'+1)
2^(m-m')(2n+1)=(2n'+1)
rechts ist ungerade, links ist gerade, ausser bei m=m'
n=n'folgt dann sofort
f  ist Injektiv, wenn aus  f(n,m) = f(u,v)  für n,m,u,v ∈ ℕ  folgt, dass  n = u  und  m = v  ist. Es macht keinen Sinn zu schreiben  f(a) = f(b)  für  a,b ∈ ℕ.

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