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Hallo!

Ich habe ein Problem bei der Lösung einer Klausuraufgabe.

Es handelt sich um eine Klausur aus der Linearen Algebra.


14. Es sei V=ℝ3 und φ ∈ L(V,V) über $$\varphi (\vec { x } )\quad =\begin{pmatrix} -2{ x }_{ 1 }+3{ x }_{ 2 }+9{ x }_{ 3 } &  \\ -{ x }_{ 1 }+2{ x }_{ 2 }+3{ x }_{ 3 } &  \\ -{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+4{ x }_{ 3 } &  \end{pmatrix}$$ mit $$\vec { x } =\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } &  \\ { x }_{ 2 } &  \\ { x }_{ 3 } &  \end{pmatrix}$$ gegeben.

(c) Bestimme alle λ ∈ ℂ mit $$\varphi (\vec { x } )\quad =\quad \lambda \vec {x } $$ und stelle die Eigenvektoren auf.

Soweit ist mir die Aufgabenstellung klar, ich soll alle Eigenwerte λ ∈ ℂ finden und die dazugehörigen Eigenvektoren aufstellen.

Ich stelle also folgendes Gleichungssystem auf:

$$\begin{aligned} -2{ x }_{ 1 }+3{ x }_{ 2 }+9{ x }_{ 3 } & = & { \lambda x }_{ 1 } \\ -{ x }_{ 1 }+2{ x }_{ 2 }+3{ x }_{ 3 } & = & \lambda { x }_{ 2 } \\ -{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+4{ x }_{ 3 } & = & \lambda { x }_{ 3 } \end{aligned}$$

Ich bringe $$\lambda { x }_{ 1 }$$ bis \lambda $${ x }_{ 3 }$$ auf die linke Seite und heraus kommt, als Matrix geschrieben folgendes:

$$\begin{pmatrix} -2-\lambda  & 3 & 9 \\ -1 & 2-\lambda  & 3 \\ -1 & 1 & 4-\lambda  \end{pmatrix}$$

Um die Eigenwerte ermitteln zu können stelle ich mit Hilfe der Determinante nun das charakteristische Polynom auf und erhalte folgendes Polynom:

$$-{ \lambda  }^{ 3 }+{ 4\lambda  }^{ 2 }-5{ \lambda  }-8$$ bzw. $${ \lambda  }^{ 3 }-{ 4\lambda  }^{ 2 }+5{ \lambda  }+8$$

Nun weiss ich nicht wie ich auf die Eigenwerte komme... Das "ausprobieren" von Werten um durch Polynomdivision auf ein Polynom 2. Grades zu kommen missglückt, gleichzeitig weiss ich aber ja aus der Aufgabenstellung das die Eigenwerte komplexe Zahlen sein sollen.

Ich würde mich über schnelle Hilfe sehr freuen!

von

1 Antwort

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Du musst die Determinante gleich Null setzen. Überprüf aber zunächst das charakteristische Polynom. Ich habe einen anderen konstanten Term stehen

DET([-2 - k, 3, 9; -1, 2 - k, 3; -1, 1, 4 - k]) = - k^3 + 4·k^2 - 5·k + 2 = 0

- k^3 + 4·k^2 - 5·k + 2 = 0

-(k - 2)·(k - 1)^2 = 0

Ein Eigenwert ist 2 und einer 1.

von 385 k 🚀

Ups, stimmt da hab ich mich verrechnet

Deine Lösung macht Sinn ;) Könntest du mir noch kurz verraten wie du schnell auf diese Umformung kommst?

P.S.: Das mit der Determinante 0 setzen war mir bewusst, hab ich oben vergessen zu schreiben, das war was ich meinte mit Werte ausprobieren ;-)

Satz von Vieta... Da hätte ich schneller drauf kommen sollen... Vielen Dank trotzdem :)

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