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Aufgabe:

Es sei A ∈ ℝnxn diagonalisierbar mit Eigenwerten |λ1| > |λ2| ≥ |λ3| · · · ≥ |λn| ≥ 0.
Sei V = [w1, · · ·, wn] die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren als Spalten und ∥x∥V = ∥V-1 x∥2 die                       zugehörige gewichtete Norm.

Sei Rn ∋ x(0) = \( \sum\limits_{i=1}^{\n}{αiwi} \)  = α1w1 + r(0)

und

x(k) := Akx(0) = \( \sum\limits_{i=1}^{\n}{βiwi} \) = β1w1 + r(k)

zeigen Sie, dass:


1. βi = αki mit i = 1, . . . , n,
2. r(k) = Akr(0)
3. ∥r(k)V ≤ λk2 ∥r(0)V
4. ∥α1w1 + γw∥2V = α21 + γ2∥w∥2V


für beliebige w ∈ ⟨w2, . . . , wn⟩ (lineare Hülle der Eigenvektoren ohne wi) gilt.


Könnte jemand helfen? Ich habe leider keine Ansätze o.Ä.

LG Blackwolf :)

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Bei deiner Aufgabenstellung stimmt etwas nicht.

Wenn \(w_i\) Eigenvektor zu \(\lambda_i\) ist und \(x^{(0)} = \sum_{i=1}^n\alpha_iw_i\), dann gilt auf jeden Fall \(A^kx^{(0)} = \sum_{i=1}^n\alpha_i\lambda_i^kw_i\).

Das passt schon mal nicht zu deiner Teilaufgabe 1. Außerdem hängen die \(\beta_i\) im Allgemeinen von \(k\) ab.

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