Kann mir jemand diesen Schritt (zweite Zeile) erklären?
(2n+2n+1)=(2n+2)!(n+1)!⋅(n+1)!=(2n)!n!⋅n!⋅(2n+1)(2n+2)(n+1)2>2n⋅2⋅2n+1n+1>2n+1 \left(\begin{array}{c}2 n+2 \\ n+1\end{array}\right) = \frac{(2 n+2) !}{(n+1) ! \cdot(n+1) !} \\ = \frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !} \cdot \frac{(2 n+1)(2 n+2)}{(n+1)^{2}} > 2^{n} \cdot 2 \cdot \frac{2 n+1}{n+1} \\ >2^{n+1} (2n+2n+1)=(n+1)!⋅(n+1)!(2n+2)!=n!⋅n!(2n)!⋅(n+1)2(2n+1)(2n+2)>2n⋅2⋅n+12n+1>2n+1
Ich weiß nicht, warum die linke Seite jetzt größer sein soll als die rechte.
Das muss an der Induktionsvoraussetzung liegen.
Wie lautet die denn genau?
Die Induktionsvoraussetzung lautet
(2nn)>2n \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)>2^{n} (2nn)>2n
( 2n tief n) = (2n)! / ( n! * n!) < 2n wurde eingesetzt
Hi,(2n)!n!⋅n!(2n+1)(2n+2)(n+1)2=2⋅2n+1n+1(2n)!n!⋅n! \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{2n+1}{n+1} \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} n!⋅n!(2n)!(n+1)2(2n+1)(2n+2)=2⋅n+12n+1n!⋅n!(2n)!Es gilt (2n)!n!⋅n!=2n⋅(2n−1)⋯(n+1)n⋅(n−1)⋯1=∏k=0n−12n−kn−k \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} = \frac{ 2n \cdot (2n-1) \cdots (n+1) }{ n \cdot (n-1) \cdots 1 } = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{2n-k}{n-k} n!⋅n!(2n)!=n⋅(n−1)⋯12n⋅(2n−1)⋯(n+1)=k=0∏n−1n−k2n−kweiter gilt 2n−kn−k>2 \frac{2n - k}{n-k} > 2 n−k2n−k>2 für 0<k<n 0 < k < n 0<k<nalso die behauptete Ungleichung. Allerdings für n=1 n = 1 n=1 gilt die Ungleichung nicht, weil2!1!⋅1!3⋅44=6 \frac{2!}{1! \cdot 1!} \frac{3 \cdot 4}{4} = 6 1!⋅1!2!43⋅4=6 gilt und 21⋅2⋅32=6 2^1 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 6 21⋅2⋅23=6 gilt.
Wieso ist
(2n)!n!⋅n!(2n+1)(2n+2)(n+1)2=2⋅2n+1n+1(2n)!n!⋅n! \frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !} \frac{(2 n+1)(2 n+2)}{(n+1)^{2}}=2 \cdot \frac{2 n+1}{n+1} \frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !} n!⋅n!(2n)!(n+1)2(2n+1)(2n+2)=2⋅n+12n+1n!⋅n!(2n)!
Ich kann das einfach nicht sehen.
Das gilt, weil (2n+2)=2(n+1) (2n + 2) = 2(n+1) (2n+2)=2(n+1) gilt. Und dann kann man den Faktor n+1 n+1 n+1 kürzen.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos