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Kann mir jemand diesen Schritt (zweite Zeile) erklären?

(2n+2n+1)=(2n+2)!(n+1)!(n+1)!=(2n)!n!n!(2n+1)(2n+2)(n+1)2>2n22n+1n+1>2n+1 \left(\begin{array}{c}2 n+2 \\ n+1\end{array}\right) = \frac{(2 n+2) !}{(n+1) ! \cdot(n+1) !} \\ = \frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !} \cdot \frac{(2 n+1)(2 n+2)}{(n+1)^{2}} > 2^{n} \cdot 2 \cdot \frac{2 n+1}{n+1} \\ >2^{n+1}

Ich weiß nicht, warum die linke Seite jetzt größer sein soll als die rechte.

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Das muss an der Induktionsvoraussetzung liegen.

Wie lautet die denn genau?

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Die Induktionsvoraussetzung lautet

(2nn)>2n \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)>2^{n}

( 2n tief n) = (2n)! / ( n! * n!)  < 2n wurde eingesetzt

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Hi,
(2n)!n!n!(2n+1)(2n+2)(n+1)2=22n+1n+1(2n)!n!n! \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{2n+1}{n+1} \frac{(2n)!}{n! \cdot n!}
Es gilt
(2n)!n!n!=2n(2n1)(n+1)n(n1)1=k=0n12nknk \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} = \frac{ 2n \cdot (2n-1) \cdots (n+1) }{ n \cdot (n-1) \cdots 1 } = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{2n-k}{n-k}
weiter gilt 2nknk>2 \frac{2n - k}{n-k} > 2 für 0<k<n 0 < k < n
also die behauptete Ungleichung. Allerdings für n=1 n = 1 gilt die Ungleichung nicht, weil
2!1!1!344=6 \frac{2!}{1! \cdot 1!} \frac{3 \cdot 4}{4} = 6 gilt und
21232=6 2^1 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 6 gilt.

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Wieso ist

(2n)!n!n!(2n+1)(2n+2)(n+1)2=22n+1n+1(2n)!n!n! \frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !} \frac{(2 n+1)(2 n+2)}{(n+1)^{2}}=2 \cdot \frac{2 n+1}{n+1} \frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !}

Ich kann das einfach nicht sehen.

Das gilt, weil (2n+2)=2(n+1) (2n + 2) = 2(n+1) gilt. Und dann kann man den Faktor n+1 n+1 kürzen.

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