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Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe Σ (für i=1) mit (2^{i-1} +1) / 3^i


Wie würdet Ihr das machen?

von

Erst mal richtig hinschreiben:

  $$\sum_{ i=1}^\infty \,\,\, \frac{ 2 i-1 +1 }{3 i}$$  

oder so ähnlich ?

Erst mal richtig aufschreiben:
$$ \sum_{i=1}^{}{\frac { 2^{i-1}+1 }{ 3^i }} $$  

ein guter anfang :) weißt du auch wies weitergeht?

Nein, warum sollte ich? Ich würde auch erst dann drüber nachdenken, wenn die Richtigkeit der Darstellung bestätigt wurde...

schade :)

kann uns vielleicht sonst jemand helfen?

Wer ist "uns"? Vielleicht solltest Du zunächst mal bestätigen, ob meine Darstellung der Reihe nun richtig ist oder nicht!

die darstellung ist richtig, ja!

Ok, dann sind wir ja schon mal einen kleinen Schritt weiter! :-)
Vielleicht können wir uns aus der gegebenen Reihe zwei geometrische Reihen basteln?

Okay, vielen Dank schonmal für deine Zeit. Mir fehlt hier ein bisschen die Übung. Hilft es mir weiter, wenn ich erst einmal 2i-1 umschreibe, sodass im Zähler 2i bleibt und in den Nenner die 21  schreibe? i=12i1+13i

dann würde ich rausbekommen:

∑=2i / (21) 3i    = (1/3) i für die erste geometrische Reihe?

Steht denn über dem Summenzeichen noch ein Unendlich? Oder: Bis wohin geht i?

Im Resultat sollte eigentlich das i nicht mehr vorkommen.

Mach besser ein Bild deiner Rechnung und stelle deine Rechnung möglichst gut dar. 

2 Antworten

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Σ (für i=1) mit (2i-1 +1) / 3i

Σ (für i=1) von 2i-1 / 3i + Σ (für i=1) von 1/ 3i

= 1/2 * Σ (für i=1) von (2 / 3)i + Σ (für i=1) von (1/ 3)i

Jetzt hast du in den Summen 2 geometrische Reihen. Du musst aber wissen bis wohin i läuft.

Suche dann mal die dafür Formeln für geometrische Reihen und setze ein. 

von 162 k 🚀

Also ich bekomme jetzt diese zwei geometrischen Reihen raus und für die erste Reihe ein Ergebnis von 3/2. Aber bei der zweiten Reihe komme ich nicht auf die passende Umformung. Stimmt das denn so? Bild Mathematik

Hi, \(2 \cdot 3^i \ne 6^i \).

oh, danke dir!

also ich klammere die zwei im Nenner aus und bekomme dann 1/2 * Σ (2/3)i = 2.

Aber wie verfahre ich mit der zweiten Reihe, die ich so bekomme?

Die Summe der ersten Reihe ist noch nicht richtig.

Beachte den Startindex!

habe den Startindex in die gesamte Reihe eingesetzt, nun bekomme ich:

a0 = 1/2 * (2/3)= 1/3

S= 1/3 * 3/1 = 1


Das ist auch mein Ergebnis für die erste reiehe, was du nun genau gemacht hast, ist mir allerdings nicht ganz klar.

Also eine Rechnung war folgende. Ich finde doch a0 indem ich den ersten Index (1) in die Reihe einsetze?Bild Mathematik  

Aha, ok. Nun die andere Reihe, die geht im Prinzip genau so.

ich bringe das irgendwie nicht in die form einer geometrischen reihe..

Bild Mathematik

Oh! Verwende
$$\frac{1}{3^i} = \left(\frac 13 \right)^i.$$

okay, potenzgesetze sind nicht so meins .. Σ 1/ 3i =Σ(1/3)i also bekomme ich S2 = 1/2

und Σ+ Σ2 = 3/2

richtig?

Das bekomme ich auch:

 1/2 * Σ (für i=1) von (2 / 3)+ Σ (für i=1) von (1/ 3)i

= 1/2 * 2/3 * 1/(1 - 2/3)  + 1/3 * 1/(1-1/3)

=1/3 * 3/1 + 1/3 * 3/2

= 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5

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Berechne zwei geometrische Reihen und Du erhältst als Ergebnis \(  \frac{3}{2} \), vorausgesetzt, die Summe geht bis \(  \infty \)

von 33 k
erhältst                     

Du schon wieder?

Wahrscheinlich war hier vom Gast die Rechtschreibung gemeint. "erhältst" → "erhälTst". Den Fehler habe ich auch immer gemacht :) vgl. Video hier.

Ja ja, das ist schon klar. Er sucht sytematisch danach. Ist ja auch ein wenig lustig.

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