beweis durch Induktion

Question

∑²ⁿ_k=1    ( (-1)^{k+1} / k) = ∑²ⁿ_k=n+1      1/k

Die frage ist wie kann ich beim I.S weiter machen wenn ich n für n+1 einsetze 

∑²⁽ⁿ⁺¹⁾_k=1    ( (-1)^{k+1} / k)  = ∑²ⁿ_k=n+1      1/k + (-1)^k+1 / k 

Answer 1

∑²⁽ⁿ⁺¹⁾_k=1    ( (-1)^k+1 / k)

= ∑²ⁿ_k=1    ( (-1)^k+1 / k)     +    ( (-1)²ⁿ⁺¹ / (2n+1))  +     ( (-1)²ⁿ⁺² / (2n+2))

= ∑²ⁿ_k=1    ( (-1)^k+1 / k)        -   1 / (2n+1)       +     1 / (2n+2)

= ∑²ⁿ_k=1    ( (-1)^k+1 / k)        -   1 / ( (2n+1)*(2n+2))    jetzt Ind.annahme

 = ∑²ⁿ_k=n+1      1/k        -   1 / ( (2n+1)*(2n+2)) 

=   1/(n+1)  +  ∑²ⁿ_k=n+2      1/k        -   1 / ( (2n+1)*(2n+2)) 

=    ∑²ⁿ_k=n+2      1/k        +  1/(n+1)  -   1 / ( (2n+1)*(2n+2)) 

=    ∑²ⁿ_k=n+2      1/k        +   ( 4n+1) /  ( (2n+1)*(2n+2))

=     ∑²ⁿ_k=n+2      1/k        +    1/ (2n+1)  + 1 / ( 2n+2)  

=   ∑²⁽ⁿ⁺¹⁾_k=n+2      1/k     Bingo! Das sollte herauskommen.

Answer 2

∑(k=1 bis 2*n ) ((-1)^k+1 /k) -----> ......  bis 2 * 1 ( (-1)^k+1 /k) = 1/2  !!

Σ ( k = n+1 bis 2* n )  ( 1/k )  ------>...... bis 2 * 1 (1/k)  = 1/2 !!