Beweis durch vollständige Induktion

Question

Aufgabe und Ansatz:

Text erkannt:

(b) Seien \( k \in \mathbb{N}, m_{1}, \ldots, m_{k} \in \mathbb{N}, a_{1}, \ldots, a_{k} \in \mathbb{Z} \). Zeigen Sie durch vollständige Induktion: \( m_{1}\left|a_{1} \wedge m_{2}\right| a_{2} \wedge \ldots \wedge m_{k}\left|a_{k} \Longrightarrow m_{1} \cdot m_{2} \cdot \ldots \cdot m_{k}\right| a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{k} \)
Aboahe einzeln zur zwoit oder zurdritt:
b) incluutonsanfang \( (n=1): \quad m_{1}\left|a_{1} \wedge \ldots \wedge m_{1}\right| a_{1} \Rightarrow m_{1} \ldots m_{n_{1}} \mid a_{1} . \ldots a_{1} \)
incluutansschnitt \( (n+1) \)
nnnahme: (Angabe)
Indultionsbenaupt.: \( m_{1}\left|a_{1} \ldots \wedge m_{k+1}\right| a_{k+1} \Rightarrow m_{1} \cdot \ldots \cdot m_{k+1} \mid a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k-1} \)
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Problem:

Sind meine Ansätze richtig? Wie beweise ich beim Idnduktionsanfan eigentlich, dass es für n=1 wahr ist? Und wie mache ich weiter bei der Induktionsbehauptung :/? Danke im Voraus.

Answer 1

Induktionsanfang \( (k=1):    m_{1}| a_{1} \Rightarrow m_{1}  \mid a_{1}  \)  ✓

Ind.Annahme:  Es gibt ein k∈ℕ so, dass  für alle \( m_{1}, \ldots, m_{k} \in \mathbb{N}, a_{1}, \ldots, a_{k} \in \mathbb{Z} \) gilt

 \( m_{1}\left|a_{1} \wedge \ldots \wedge m_{k}\right| a_{k} \Rightarrow m_{1} \cdot \ldots \cdot m_{k} \mid a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k} \)

Dann ist zu zeigen: Seien \( m_{1}, \ldots, m_{k+1} \in \mathbb{N}, a_{1}, \ldots, a_{k+1} \in \mathbb{Z} \) dann gilt

\( m_{1}\left|a_{1} \wedge \ldots \wedge m_{k+1}\right| a_{k+1} \Rightarrow m_{1} \cdot \ldots \cdot m_{k+1} \mid a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k+1} \)

Etwa so: Gilt \( m_{1}\left|a_{1} \wedge \ldots \wedge m_{k}\right| a_{k+1}  \)Dann also insbesondere \( m_{1}\left|a_{1} \wedge \ldots \wedge m_{k}\right| a_{k} \)

Nach Ind. annahme also \(  m_{1} \cdot \ldots \cdot m_{k} \mid a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k} \)

außerdem gilt \( m_{k+1}| a_{k+1}  \) .

Nun gilt ja allgemein u|v und x|y ==>  ux | vy, hier also

\(  m_{1} \cdot \ldots \cdot m_{k} \mid a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k}   \wedge m_{k+1}| a_{k+1}    \) also

wie gewünscht \( m_{1} \cdot \ldots \cdot m_{k+1} \mid a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{k+1} \)