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Ich bräuchte die Notwendige/hilfreichende bedingung um die Extremstellen zu erfassen, mit lösungsweg 


f(x) = 2x^{4}-4x^{2}-2

f'(x) = 8x^{3}-8x

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f(x) = 2·x^4 - 4·x^2 - 2

f'(x) = 8·x^3 - 8·x

f''(x) = 24·x^2 - 8

f'''(x) = 48·x

Extrempunkte f'(x) = 0

8·x^3 - 8·x = 8·x·(x^2 - 1) = 8·x·(x + 1)·(x - 1)

0, 1 und -1 sind einfache Nullstellen der Ableitung. Damit sind das Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und somit wirkliche Extrempunkte.

f(-1) = -4

f(0) = -2

f(1) = -4

Tiefpunkte bei (±1 | 4) und Hochpunkt bei (0 | -2).

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Bei dieser Rechnung 8·x3 - 8·x = 8·x·(x2 - 1) = 8·x·(x + 1)·(x - 1)

heißt es einfach das auf beiden Seiten ein X abgezogen wird? ich weiß nicht wieso, aber ich stelle mich bei der Aufgabe ziemlich doof und kompliziert .. 

Ich faktorisiere einfach den Term, der auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht. Zunächst ein 8x ausklammern, dann die binomische Formel erkennen.

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f(x) = 2·x4 - 4·x2 - 2

f'(x) = 8·x3 - 8·x

f''(x) = 24·x2 - 8


Stellen mit waagerechter Tangente f ' ( x ) = 0

Rechnen wir ab hier einmal konventionell

8·x3 - 8·x   = 0  |  8 * x ausklammern
8 * x * ( x^2 - 1 ) = 0

Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist

8 * x = 0  => x = 0
und
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = 1
x = -1

Lösungen sind die Stellen
x = 0
x = 1
x = -1

Sind die Extremstellen vielleicht Wende- / Sattelpunkte ?
2.Ableitung = 0

f ' ' ( x ) = 24·x2 - 8

f ' ' ( 0 ) = 24·02 - 8 ≠ 0
f ' ' ( 1 ) = 24·12 - 8 ≠ 0
f ' ' ( -1 ) = 24·(-1)2 - 8 ≠ 0

Alle Stellen sind Extremstellen

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