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Gegeben sind die Funktionen $$ f(x) =-\frac { 1 }{ 8 } { x }^{ 3 }+\frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 2 }-3\quad \wedge \quad g(x)=-\frac { 1 }{ 2 } x $$


Das Schaubild von f ist K. Das Schaubild von g ist G.


Für $$-2\le u\le 2$$ schneidet die Gerade mit der Gleichung x = u das Schaubild K im Punkt A und die Gerade G im Punkt B. Der Punkt C(2 | -1) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck.

Zeigen Sie: Das Dreieck hat seinen größten Flächeninhalt für $$ u= 2 - 2\sqrt { 2 }  $$

Bestimmen sie den maximalen Flächeninhalt

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LG B.

~plot~ -1/8 * x^3 + 3/4 * x^2 -3 ; -1/2*x ~plot~

1 Antwort

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Hier eine Skizze

Bild Mathematik

Die Differenzfunktion ist

d = -1/2 * x - ( -1/8*x^3 + 3/4*x^2 - 3)
d = -1/2 * x + 1/8*x^3 - 3/4*x^2 + 3

und entspricht der Gundseite des Dreiecks

Die Höhe des ( Abstand Grundseite zu x = 2 )
h = 2 - x

Die Fläche
F ( x ) = d * h * 1/2
F ( x ) =  ( 1/8*x^3 - 3/4*x^2 - 1/2 * x + 3 ) * ( 2 - x ) * 1/2
F ( x ) =  -x^4/16 + x^3/2 - x^2/2 - 2*x + 3
F ´ ( x ) = -x^3/4 + 3*x^2/2 - x - 2

Die Gleichung ist algebraisch nicht zu lösen.
Nun ist uns die Lösung ja schon vorgegeben ( x oder u ) = 2 - 2 * √ 2
Eine Extrempunkt wäre wenn F `( 2 - 2 * √ 2 ) = 0 ist

~plot~ -x^3/4 + 3*x^2/2 - x - 2 ~plot~

x = -0.828
Sieht so aus.
Die Steigung wechselt von positiv nach negativ.
Der Punkt ist ein Hochpunkt.

mfg Georg

von 111 k 🚀

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