Bestimmen Sie, ob die Kompositionen definiert sind.

Question

Aufgabe:

Sei die Abbildung $\varphi: \mathbb{R} \rightarrow\{a, b, c\}$ durch

$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll} a, \text { falls } x>0 \\ b, \text { falls }-4 \leq x \leq 0 \\ c, \text { falls } x<-4 \end{array}\right.$

gegeben. Sei ferner die Abbildung $\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ durch $\psi(y)=y^{2}$ gegeben.

a) Bestimmen Sie, ob die Kompositionen $\varphi \circ \psi, \psi \circ \varphi, \varphi \circ \varphi, \psi \circ \psi$ definiert sind, und geben Sie diese ggf. in möglichst einfacher Form an.

b) Bestimmen Sie, ob diejeinigen Kompositionen aus dem Teil a), die tatsächlich existieren, jeweils injektiv und/oder surjektiv sind.

Begründen Sie Ihre Antworten.

Hinweis: In dieser Aufgabe sind $a, b, c$ nur Symbole und keine reellen Zahlen.

Answer 1

a)

Wie habt ihr die Kompositionen definiert?

f°g(x) = f(g(x))

Dann ist die erste und die letzte Komposition erlaubt

Bei der inneren Funktion dürfen also keine Symbole herauskommen, weil die äußere Funktion damit nichts anfangen kann.

Versuche jetzt die Komposition zu vereinfachen.

Die erste sollte für x = 0 b sein und ansonsten a

Die letzte sollte x⁴ ergeben

b)

Das solltest du jetzt auch alleine beantworten können oder?