Σ i^n/n
Aufgabe ist die Konvergenz dieser Reihe zu zeigen: $$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { i }^{ n } }{ n } } $$
Ich weiß, dass diese Reihe konvergiert, wenn die Summe des Realteils und die des Imaginärteils konvergiert.
Darüber hinaus weiß ich noch, dass folgendes gilt: $$Re({ i }^{ n })\quad =\quad \frac { { (-1) }^{ \frac { n }{ 2 } } }{ 2 } *\quad [{ (-1) }^{ n }+1]$$
und $$Im({ i }^{ n })\quad =\quad \frac { { (-1) }^{ \frac { n+1 }{ 2 } } }{ 2 } *\quad [{ (-1) }^{ n+1 }+1]$$
Selbst wenn ich das jetzt mit 1/n multipliziere komme ich irgendwie nicht weiter.
Hat jemand einen guten Rat für mich wie ich da am besten vorgehen kann? Ich mag wirklich nur einen Rat, weil ich es gerne selbst schaffen würde.
Dass ich erst einmal die Konvergenz von dem hier (Summe des Realteils) zeigen muss, ist doch schon einmal richtig, oder (Im wäre dann analog):
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ \frac { n }{ 2 } } }{ 2n } *\quad [{ (-1) }^{ n }+1] } $$
