Berechne x aus der Exponentialgleichung: 5*35-x=10x/2

Question

Bsp.:

5*3^5-x=10^x/2

5*(3⁵)^-x=10^0,5x  /:5

(3⁵)^-x=2^0,5x

(243)^-x=2^0,5x

-x*lg(243)=0,5x*lg2

-x/0,5x=lg2/lg(243)

-0,5x=0,12618

x= 4*[(-1/4)*x]

x=0,50472

.

Comments

x=0,50472

Und nun die Probe
5*3^5-x=10^x/2

5 * 3^4.5 = 10^0.25
701.5 = 1.78

Dein Ergebnis ist also falsch.

Answer 1

$$5\cdot 3^{5-x}=10^{\frac{x}{2}}$$

wir ordnen zunächst:

$$5\cdot 3^{5-x}=10^{\frac{x}{2}} \qquad \vert \cdot 10^{-0,5x}\quad ;\quad :5$$

$$3^{5-x}\cdot 10^{-0,5x}=\frac{1}{5}$$

Wir müssen nun die beiden Exponenten zusammen bekommen, das ginge durch die Multiplikation der Potenzen, wenn sie gleiche Basen hätten. Haben sie aber nicht. Allerdings gilt a^x=e^ln(a)x und das benutzen wir, um gleiche Basen zu bekommen:

$$e^{ln(3)\cdot (5-x)}\cdot e^{ln(10)\cdot (-0,5x)}=\frac{1}{5}$$

jetzt wenden wir die Potenzgesetze an und fassen zusammen. Es wird:

$$e^{5\cdot ln(3)-(ln(3)+0,5\cdot ln(10))x}=\frac{1}{5}$$

Jetzt nehmen wir das e wieder weg:

$$5\cdot ln(3)-(ln(3)+0,5\cdot ln(10))x=ln\Big(\frac{1}{5}\Big)$$

Freistellen nach x:

$$x=\frac{5\cdot ln(3)-ln(0,2)}{ln(3)+0,5\cdot ln(10)}=3,15680...$$

jetzt sollte auch die Probe passen...

Comments

Die Probe habe ich nachgerechnet, passt alles perfekt.

Also immer wenn ich verschiedene Basen habe, kommt die eulerische Zahl ins Spiel ?

Liegt das ausschließlich daran, dass verschiedene Basen vorhanden sind, denn die sind ja bei meinen anderen Aufgaben auch vorhanden. Dort musste ich vereinfachen und das x im Exponenten alleine stehen lassen.

Ist mit gleicher Basis etwa 3-4x=2x+1 ungleich 5-x=x/2 gemeint ?