Ist Q adjungiert Wurzel 2 ein Körper?

Question

Servus Forum Mitglieder,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe in meinem Analysis 1 Buch. Und zwar geht es um Körper.

Ich hab folgende Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass für \( \mathrm{Q}[\sqrt{2}] \) (gesprochen: Q adjungiert \( \sqrt{2} \) ) definiert durch

$$ \begin{aligned} & \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{r+s \sqrt{2}: r, s \in \mathbb{Q}\} \\ \text { gilt: } \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \subseteq \mathbb{R} \end{aligned} $$

(b) Zeigen Sie nun, dass \( \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \) zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper ist.

  Um zu zeigen, dass dies ein Körper ist brauch ich doch nur die Körperaxiome durchzugehen, oder? Abwe qiw zeigt man Teil (a). Intutiv ist das eigentlich klar, aber gibt es irgendeinen Tipp wie man auf diese Aufgabe herangehen sollte?

LG

Hybridorbi

Answer 1

Hi,

a) ist echt trivial, du musst nur kurz für jede Mengenrelation in der Kette zeigen, warum jedes Element der linken Menge auch in der rechten Menge zu finden sind.

Gruß

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Aber wie soll ich dies denn bewerkstelligen? Intutiv ist ja klar, dass Q in Q adjungiert Wurzel 2 enthalten ist, wenn einfach s=0 ist. Aber den Körper der Rellen Zahlen haben wir bis jetzt noch nicht definiert. Wie soll ich die Aussage denn dann beweisen.

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Wie kommt ihr dann an dieses Zeichen? :D Das ist doch aus ner vertiefenden Algebra-Vorlesung oder nicht? Der Körper der reellen Zahlen müsste ja quasi schon in den Voraussetzungen mit drin sein. Das es sich um eine reelle Zahl handelt ist ja klar, da jedes Element aus in \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) einfach nur die Summe 2er reeller Zahlen ist.

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Aber es wurde doch definiert, dass r,s von Q sind. Kann ich einfach sagen, da ja Q eine Teilmenge von R (das haben wir wenigstens bisjetzt besprochen) gilt auch, dass sie Summe zweier Zahlen Element von R ist, oder? Was anderes kann ich mir nicht vostellen. Übrigens ist die Aufgabe von meiner Analysis 1 Vorlesung und tu mich gerade als blutiger Anfänger noch ziemlich schwer damit! ;-)

Also um den Beweis zusammenzufassen:

Beweis eins: Q Teilmenge von Q adjungiert Wurzel 2.

Alle Elemente x Element Q sind auch Element Q adjungiert Wurzel zwei, indem man r=x und s=0 definiert.

Beweis zwei: Q adjungiert Wurzel 2 Teilmenge von R.

Da r,s Element Q sind, so folgt auch, dass r,s Element von R sind. Außerdem ist auch Wurzel 2 Element R

Daraus folgt aus x Element Q auch x Element R.

Stimmen meine Ausführungen, oder sind sie völlig falsch?

LG

Hybridorbi

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Sieht vollkommen in Ordnung aus wobei im letztem satz das adjungiert und wurzel 2 fehlt. Du musst natürlich dafür wissen das R ein Körper ist.

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Hallo Yakyu,

ich habe einmal Teil (a) bearbeitet, quasi den Beweis, dass Q[Wurzel(2)] wirklich ein Körper ist.

Ich hab meine Beabreitung kurz hochgelagen auf folgender Website:

www.docdroid.net/ymbs/bearbeitung.pdf.html

Stimmt meine Beabeitung? Bei dem Beweis von der Existenz eines multiplikativen Inverses bin ich irgendwie nicht zu einem Ende gekommen. Meinen Ansatz habe ich auch im Dokument reingeschrieben.

Ich würde mich sehr freuen, wenn du mir helfen könntest...

LG
Hybridorbi

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Hi Orbi,

hab mal kurz drüber geschaut. In A1 darfst du bitte Äquivalenzzeichen nicht mit Gleichheitszeichen verwechseln. 2 Terme können gleich sein, aber nicht äquivalent.

Du solltest auch das additive Inverse lieber \(-x\) nennen, da bei dir Doppeldefinition vorkommt.

Ansonsten spricht nichts gegen den Beweis, man kann es natürlich auch ein wenig kürzer machen.

Zum Inversen Element bezüglich Multiplizität:

Sei \( x = a+b\sqrt{2} \neq 0\).

Dann $$x^{-1} :=  \frac{1}{a+b\sqrt{2} } = \frac{a-b\sqrt{2} }{a^2-2b^2} = \frac{a}{a^2-2b^2} - \frac{b}{a^2-2b^2} \sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$$

Dies funktioniert, da \( a^2 - 2b^2 \neq 0 \) gilt (bitte selber überlegen :))

Gruß