Zeigen, dass Abbildung eine Norm auf Unterraum definiert

Question

Aufgabe:

Es sei U = {f : R → R| ∃a,b ∈ R : f(x) = asin(x)+bcos(x)für  alle  x ∈ R} ein Unterraum des Vektorraums aller stetigen Funktionen f : R → R. Zeigen Sie, dass die Abbildung

N:U→R
f → |f(0)| + |f′(0)|

eine Norm auf U definiert.

Wie lautet der Ansatz? Ich weiß nicht, was ich vorgehen soll. Ich habe einen Unterraum und die Abbildung, wie zeige ich denn, dass diese eine Norm auf den Unterraum definiert??

Answer 1

du musst die Axiome (Definitheit, abs.Homogenität und Dreiecksungl.) prüfen
1.  aus N(f)  = 0 muss   f= 0 folgen

sei also f(x)= asin(x)+bcos(x)  dann ist  f ' (x) = a*cos(x) - b*sin(x) also

N(f) = 0  dann ist

|f(0)| + | f ' (0) | = 0

      |b|    + |a|    = 0

und wenn die summe zweier Beträge 0 ist, ist jeder

einzeln 0 also f = 0*sin(x) + 0*cos(x) = 0

2. ist zu zeigen   N( k*f) = |k|* N(f) 

k*f(x) = k*( asin(x)+bcos(x) )   und    ( k*f(x) ) ' =  k*( a*cos(x) - b*sin(x))

also ist N(k*f) =   |(kf)(0) |  + | (kf)' (0) |

                         = |k*b| + | k*a|   =  |k|*|b| + | k|*|a| = |k|*( |b| + |a| ) = |k|*N(f)

dann noch N( f+g) ≤ N(f) + N(g) zeigen , da nimmst du außer dem f noch

ein g mit g(x) = c*sin(x)+d*cos(x)  und rechnest nach, führt letztlich auf die

Dreiecksungl. für reelle Zahlen |a+c| ≤ |a| +|c|