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ich soll zeigen,dass:

$$\sqrt { z } :=\sqrt { |z| } *{ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } i*Arg(z) } $$

Für C ohne (-unendlich,0] diffbar ist.

Ich habe dies nach Realteil und Imaginärteil umgeschrieben:

(x^2+y^2)^{1/4} * cos(1/2 arctan(y/x) ) = Re(Wurzel(z))

(x^2+y^2)^{1/4} * cos(1/2 arctan(y/x) ) = Im(Wurzel(z))

Ich stelle nun die Cauchy-Riemannsche DGL auf ,indem ich partielle Ableitungen der beiden Teile bilde.

Hierbei erhalte ich aber sehr komplexe Funktionen.


Meine Frage ist nun: Gibt es einen einfacheren Weg die Diffbarkeit  zu zeigen?

von 8,8 k

Kann das überhaupt sein?

In R ist f(x)= √x  ja nicht differenzierbar in x=0.

Für C ohne (-unendlich,0] diffbar ist.

Also C\(-unendlich,0].

Die 0 ist nicht in dem Intervall.

Stimmt. Hatte ich überlesen.

Graphisch sieht das ja schon mal gut aus: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28√z%29

Bild Mathematik

Bild Mathematik

Aber bewiesen habe ich so auch noch nichts.

Ah du hast deinen Kommentar editiert. Habe ich leider nicht mehr gesehen.

Wenn ich die partiellen Ableitungen für Realteil und Imaginärteil bilde, so sehe ich an den Cauchy-Riemann DGLs,dass diese Funktion diffbar ist.

Aber wie gesagt sind diese partiellen Ableitungen etwas unschön.

Die Bilder sind eben leider auch kein eigentlicher Beweis.

Vielleicht hilft dir das Folgende(?)

http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=203401&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.ch%2Fsearch%3Fclient%3Dsafari%26rls%3Den%26q%3Ddifferenzierbar%2Bkomplexe%2Bwurzel%26ie%3DUTF-8%26oe%3DUTF-8%26gfe_rd%3Dcr%26ei%3Dcr8_VZyMJZLF8AfvlYCIBg

"Über den Logarithmus im Komplexen habe ich gelesen, dass er auf dem Gebiet \mathbb C\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\} holomorph ist."

Habe nochmals editiert.

Das hilft mir leider nicht,da ich den Logarithmus ja gar nicht benutze. Auf der Seite ist Wurzel(z) auch anders definiert =(

Die in dem Link verwendete Funktion ist äquivalent zu deiner:

$$ e^{\frac{1}{2}\ln z} = e^{\frac{1}{2}\ln |z| + i\frac{1}{2}\cdot \arg(z)} = \sqrt{|z|} \cdot e^{\frac{1}{2}i\cdot \arg(z)}$$

Die Definition ist gerade so gewählt, dass \( \left(\sqrt{z}\right)^2 = z\), so wie man es von der Wurzelfunktion erwartet.

Kannst du mir sagen, warum man die Umformungen,die du machst, machen kann?

Also wieso ist ln z = ln|z|

Und warum kann man zum Exponenten + i1/2*arg(z) addieren?

Für eine komplexe Zahl definiert man \( \ln z := \ln|z| + i\cdot \arg(z) \).

Ah jo,danke. Das habe ich genau gerade im Skript auch gesehen :D

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