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Analog zum reellen Fall nennen wir eine Komplexe Abbildung f : ℂ → ℂ komplex differenzierbar in z0 ∈ ℂ falls für alle Folgen (zn) ⊂ ℂ \ {z0} mit zn → z0 die Folge
lim n→∞  f(zn)−f(z0)/(zn-z0)   gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Aufgabe:

a) (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung f(z) = ez komplex differenzierbar (in allen Punkten) ist und es gilt f ′(z) = ez.


(b) Nutzen Sie (a) am Punkt z0 = 0 um zu zeigen, dass n
limn→∞ n *| ei·π −1 | = π


(c) Für ein festes n ∈ ℕ definieren wir Punkte auf dem oberen Einheitskreis durch
pk := ek/n* iπ , k = 0,...,n. 
Wir nähern die Länge des oberen Halbkreises durch folgenden Polygonzug an:

Sn :=| pk+1 − pk |.
Zeigen Sie mithilfe von (b), dass

lim n→∞  Sn = π.


Problem/Ansatz:

Nun habe ich bei der a) f(z0+h)-f(z0)/h = 1/h*e^z0(e^h-1) und dann hab ich für exp(h)= Summe(h^n/n!) eingesetzt und bekomm zuletzt   1+ h*Summe(h^n-2/n!) und das geht gegen 1 wenn h->0 geht. Nun bin ich mir nicht sicher ob ich die Differenzierbarkeit nach der Aufgabenstellung gelöst habe.


Bei der b) versteh ich nicht wie man auf den Betrag kommt. Mein Ansatz ist sein (zn)=pi/n eine Nullfolge und aus a9 gefolgert das e^0=1 und bekomme dann am ende lim n->8 n*(e^pi/n-1)=pi

c) Hier rechne ich nur aus und benutz dabei die Relation aus b) aber so wirklich auf das Ergebnis komm ich nicht.

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