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Bild Mathematik

ich sitze schon seit Stunden an diesen Aufgaben, jedoch ohne Erfolg =(

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, die Aufgaben zu lösen.

Vielen Dank an die Mathe Genies!!!

LG

von

1 Antwort

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Automorphismus ist doch ein bijektiver Homomorphismus
von Z[i] auf sich.

Dass "Konjugation" ein Homomorphismus ist, zeigst du leicht
durch:   Konjugation von z1 + z2 =   Konjugation von z1 +   Konjugation von z2
denn mit z1=a1+i*b1 und z2 = a2 + i*b2 ist
                  z1 + z2 = (a1+i*b1) + (a2+i*b2)
                               = (a1+ a2) +  i*(b1+b2)
und konjugiert also (a1+ a2) -   i*(b1+b2)
                            = (a1 - i*b1) + (a2 - i*b2)
                          = Konjugation von z1 +   Konjugation von z2

ebenso leicht siehst du für x aus R

Konjugation von x*z1 = x*   Konjugation von z1

also ist es ein Hom.

injektiv heißt  wenn zwei konjugierte gleich sind, sind

auch die originale gleich, klar:    a1 - i*b1 = a2 - i*b2

heißt a1=a2 und b1 = b2

also auch a1 + i*b1 = a2 + i*b2

surjektiv:  sei z aus Z[i], dann z = a+bi

dann gibt es immer ein z1 ( nämlich z1 = a-bi) so, dass

z das konfugierte von z1 ist.

Also bijektiver Hom. also Automorphismus

von 228 k 🚀

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