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a) Finde eine Koordinatentransformation (Translation und/oder Rotation) so dass der Kegelschnitt Kf:={f = 0} kanonische Form hat für
f(x,y)=3x2+8xy-3y2+28

b) Zeige, dass der Kegelschnitt Kf für f(x,y)=x2+2xy+y2+3x+y-1 eine Parabel ist. Hinweis: Schreibe 3x+y als 2(x+y)+x-y und ergänze (x+y)2 +2(x+y) quadratisch.


Weiss jemand wie man das macht?

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Es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.
Weiss das wirklich niemand?

ich weiss es aber sags dir nicht haha

1 Antwort

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Hi, beide Aufgabe kann man in der folgenden Form schreiben
xtAx+btx+c=0 x^tAx+b^tx+c = 0
Bei Aufgabe (a) gilt
A=(3443) A= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} und b=0 b = 0 sowie
c=28 c = 28
Die Matrix A A kann diagonalisiert werden durch D=TtAT D = T^tAT mit T=(2112) T = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
Die Spaltenvektoren von T T sind die Eigenvektoren von A A . Die Eigenwerte sind 55 und 5 -5 . Damit ergibt sich die Diagonalmatrix zu
D=(5005) D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}
Mit der Transformation z=Ttx z =T^tx also x=Tz x = Tz folgt
ztDz+c=0 z^tDz + c = 0
Damit ergibt sich in Koordinatendarstellung
z22z12=285 z_2^2-z_1^2 =\frac{28}{5}
Damit ist der Kegelschnitt aus Aufgabe (a) eine Hyperbel.
Ähnlich kann man bei Aufgabe (b) vorgehen.
Es ergibt sich nach der Diagonalisierung und einer quadratischen Ergänzung folgende Darstellung, was eine Parabel darstellt.
z2=±112z1 z_2 = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}z_1}

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