\( A:=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 \end{array}\right) \)
a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von \( A \).
b) Ist diese Matrix diagonalisierbar?
DET([5 - k, -6, -6; -1, 4 - k, 2; 3, -6, -4 - k]) = - k^3 + 5·k^2 - 8·k + 4 = 0
- k^3 + 5·k^2 - 8·k + 4 = 0
(1 - k)·(k - 2)^2 = 0
Eigenwerte sind demnach 1 und 2. Du kannst sie diagonalisieren. Es ist hier aber nur gefragt ob sie diagonalisierbar ist. Man soll sie aber nicht diagonalisieren.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B5%2C+-6%2C+-6%7D%2C+%7B-1%2C+4%2C+2%7D%2C+%7B3%2C+-6%2C+-4%7D%7D
Damit die Matrix diagonalisierbar ist solltest du 3 linear unabhängige Eigenvektoren finden. Was meinst du. Ist das hier möglich und wenn ja warum und wenn nein warum nicht.
Da Die matrix nur 2 eigenwerte hat, hat sie nur 2 eigenvektoren und damit nicht diagonalisierbar oder?
Ich finde hier zu einem Eigenwert 2 sicher 2 linear unabhängige Eigenvektoren.
Wenn du sagst es wäre nicht Diagonalisierbar würde Wolfram-Alpha doch oben nicht diagonalisieren können. Schau dir ruhig mal an wie die Diagonalisierung aussieht. Warum in der Diagonalmatrix plötzlich 2 mal die 2 auftritt.
I (5- λ ) -6 -6 I
A=I -1 (4- λ ) 2 I
I 3 -6 (-4-λ) I ====> -(λ3) +5xλ2 -8xλ +4 !
λ1 = 1 ,λ2 = 2 ,λ3 =3
A - λ x E = ( 4 -6 -6 )
(-1 3 2 )
(3 -6 -5 ) !!
DNke, aber wie begründet man es, dass sie diagonalisierbar ist ?
Annahme: Die Eigenwerte oben stimmen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix#Eigenschaften_einer_diagonalisierbaren_MatrixMit 3 verschiedenen Eigenwerten, hast du automatisch 3 Eigenräume der Dimension 1. Das beweist gemäss Link die Diagonalisierbarkeit.
Es gibt aber nur 2 eigenwerte, ich hatte auch 1 und 2, wenn du die Gleichung in den Taschenrechner eingibst kommen auch tatsächlich die 2 eigenwerte raus, also deine gleichen mit -x3 +5x2-8x+4
Aha. Folge dem Link von Mathecoach.
Der Eigenwert 2 hat einen Eigenraum der Dimension 2 und
der andere Eigenwert einen Eigenraum der Dimension 1.
Das genügt gemäss meinem Link weiter oben auch für Diagonalisierbarkeit.
