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Sei \( ( G , * ) \) eine Gruppe. Beweisen Sie, dass \( \operatorname { Ord } ( x * y ) = \operatorname { Ord } ( y * x ) \) für alle \( x , y \in G \) gilt.

Bemerkung: Im Allgemeinen gilt \( x * y \neq y * x \).

 

Ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Hat jemand eine Lösung?

von

1 Antwort

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Ich geb dir mal nen Tipp:

angenommen Ord(xy)=3, also (x*y)*(x*y)*(x*y)=e, aber x*y≠e und (x*y)*(x*y)≠e.

Was wäre dann, wenn jetzt          (y * x)*(y * x) =e  oder sogar y*x=e ?
von
Wenn Ord(x*y) = 3 also (x*y)*(x*y)*(x*y) = e, aber x*y != e und (x*y)*(x*y) != e

 

Angenommen (y*x) = e oder sogar y*x=e

Dann hätten wir nach Axiom Nummer 3 einen astreinen Widerspruch, da in einer Gruppe gilt:

 

a*b = b*a = e

wenn jetzt aber y*x = e und x*y != e, dann folgt e = y*x != x*y = e

Soweit so gut?
na nicht ganz, was ist mit:

(x*y)*(x*y)*(x*y)=e, aber x*y≠e und (x*y)*(x*y)≠e. also Ord(x*y)=3

(y * x)*(y * x) =e und y*x≠e, also Ord(y*x)=2.

Da hast du noch keinen Widerspruch.

Es ist ja offensichtlich, dass das alles einen Widerspruch ergibt. Soll heissen ich muss alle Widersprüche, die möglich sind aufführen? Weil di begründung ist ja immer die gleiche.

Naja wenn dir klar ist wie es läuft, musst du das halt allgemein so aufschreiben, dass es klar wird, dass ein Widerspruch auftritt. Das heißt du sagst sei Ord(x*y)=n und Ord(y*x)=m und zeigst dann, dass falls m≠n dies auf einen Widerspruch rausläuft. Wie man dafür vorgeht kann man sich dann aus dem kleinen Beispiel oben herleiten.
(x*y)*(x*y)*(x*y)=e, aber x*y≠e und (x*y)*(x*y)≠e. also Ord(x*y)=3

(y * x)*(y * x) =e und y*x≠e, also Ord(y*x)=2.

Ich sehe den Widerspruch nicht. Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

Da x*y≠y*x verstehe ich nicht, wo der Widerspruch seien soll.
e=(x*y)*(x*y)*(x*y)=x*(y*x)*(y*x)*y=x*e*e*y=x*y≠e

War das sooo schwer?

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