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Hallo

Bitte kann mir jemand bei dieser differentialgleichung helfen. Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Danke

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Hi, zuerst bestimmst du die allgemeine Lösung des homogenen Systems, also $$\dot{\vec{x}} = A \vec{x} \ ,$$ wobei du den Lösungsansatz $$\vec{x}=\vec{v}e^{\lambda t}$$ verwendest. λ sind die Eigenwerte von A und v die dazugehörigen Eigenvektoren. Wenn du alles berechnet hast, erhältst du $$\vec{x}_{hom} = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} \ . $$ Das entsprechende Fundamentalsystem lautet dann $$X = \begin{pmatrix}v_{1x} e^{\lambda_1t} & v_{2x} e^{\lambda_2t} \\ v_{1y} e^{\lambda_1t} & v_{2y} e^{\lambda_2t}   \end{pmatrix} \ ,$$ wobei mit v1x die erste Komponente des v1-Vektors usw. gemeint ist. Daraus bestimmst du die Inverse X-1, die wir für die Gleichung $$\dot{\vec{c}} = X^{-1}\vec{b}$$ brauchen, wobei der b-Vektor der Inhomogenität deiner ursprünglichen DGL entspricht. Nach Integration erhalten wir den Vektor c und damit schließlich die inhomogene Lösung mit $$\vec{x}_{inh} = X\vec{c} \ . $$ Am Ende noch natürlich homogene und inhomogene Lösung addieren, um die allgemeine Lösung zu erhalten.


Ich habe nie erklärt, woher was kommt, nur wie man vorzugehen hat. Das Ganze ist nämlich ziemlich komplex und da nur nach dem Vorgehen gefragt wurde, habe ich es mal darauf beschränkt. Wenn du dieser Anleitung Schritt für Schritt folgst, kommst du auf die richtige Lösung. Gern kannst du auch Zwischenschritte/-fragen schreiben, die ich oder wer anders dann kommentieren.

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