Question

In einer Urne sind vier Kugeln mit den Nummern 1,2,3 und 4. es werden nacheinander 2 Kugeln gezogen. Es sei X die Summe der Nummern der gezogenen Kugeln. Berechne die Varianz und denErwartungswert.

a) mit Zurücklegen

b) ohne zurücklegen

Answer 1

In einer Urne sind vier Kugeln mit den Nummern 1,2,3 und 4. es werden nacheinander 2 Kugeln gezogen. (mit Zurücklegen) Es sei X die Summe der Nummern der gezogenen Kugeln. Berechne den Erwartungswert.

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Die Kugeln haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es gilbt für den Ersten Zug:

E₁ = 1/4 * 1 + 1/4 * 2 + 1/4 * 3 + 1/4 * 4 = 2,5

Da zurück gelegt wird sieht der zweite Zug genauso aus. Deswegen:

E_gesamt = E₁ + E₂ = 2,5 + 2,5 = 5

Answer 2

der Erwartungswert für einmaliges Ziehen beträgt

1/4 * 1 + 1/4 * 2 + 1/4 * 3 + 1/4 * 4 =

(1 + 2 + 3 + 4)/4 = 10/4 = 2,5

Da wir zweimal mit Zurücklegen ziehen, beträgt der gesuchte Erwartungswert

E(X) = 2,5 * 2 = 5

Besten Gruß

Answer 3

In einer Urne sind vier Kugeln mit den Nummern 1,2,3 und 4. es werden nacheinander 2 Kugeln gezogen. Es sei X die Summe der Nummern der gezogenen Kugeln. Berechne die Varianz und den Erwartungswert. 

a) mit Zurücklegen

E(X) = 2·(1/16) + 3·(2/16) + 4·(3/16) + 5·(4/16) + 6·(3/16) + 7·(2/16) + 8·(1/16) = 5

V(X) = 2²·(1/16) + 3²·(2/16) + 4²·(3/16) + 5²·(4/16) + 6²·(3/16) + 7²·(2/16) + 8²·(1/16) - 5² = 2.5

b) ohne zurücklegen

E(X) = 3·(2/12) + 4·(2/12) + 5·(4/12) + 6·(2/12) + 7·(2/12) = 5

V(X) = 3²·(2/12) + 4²·(2/12) + 5²·(4/12) + 6²·(2/12) + 7²·(2/12) - 5² = 5/3 = 1.667