Grenzwerte bestimmen mit mehreren Variablen

Question

Aufgabe:

(i) Zeigen Sie:

\( \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0, \quad \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 \)

(ii) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Ableitung einer vektorwertigen Funktion mehrerer Variablen, dass die Ableitung der Funktion

\( \vec{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x-y \\ x y \\ x^{2} \end{array}\right) \)
durch die \( 3 \times 2 \)-Matrix
\( \overrightarrow{f^{\prime}}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ y & x \\ 2 x & 0 \end{array}\right) \)

gegeben ist.

Hinweis: Teil (i) kann hier nützlich sein.

Ansatz/Problem:

Muss man bei diesen Aufgaben L´hospital benutzen um auf die Lösung zu kommen? Mit den Binomischen Regeln komme ich leider nicht auf eine akzeptable Lösung.

Answer 1

Ich glaube wir haben das mal wie folgt gemacht:

lim (x, y --> 0) x^4/(x^2 + y^2)

Ersetze

x = h*COS(a)
y = h*SIN(a)

lim (h --> 0) (h·COS(a))^4/((h·COS(a))^2 + (h·SIN(a))^2)

lim (h --> 0) (h^4·COS(a)^4) / (h^2·COS(a)^2 + h^2·SIN(a)^2)

lim (h --> 0) (h^4·COS(a)^4) / (h^2·(COS(a)^2 + SIN(a)^2))

lim (h --> 0) (h^4·COS(a)^4) / h^2

lim (h --> 0) h^2·COS(a)^4) = 0