Aufgabe:
(i) Zeigen Sie:
\( \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0, \quad \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 \)
(ii) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Ableitung einer vektorwertigen Funktion mehrerer Variablen, dass die Ableitung der Funktion
\( \vec{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x-y \\ x y \\ x^{2} \end{array}\right) \)
durch die \( 3 \times 2 \)-Matrix
\( \overrightarrow{f^{\prime}}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ y & x \\ 2 x & 0 \end{array}\right) \)
gegeben ist.
Hinweis: Teil (i) kann hier nützlich sein.
Ansatz/Problem:
Muss man bei diesen Aufgaben L´hospital benutzen um auf die Lösung zu kommen? Mit den Binomischen Regeln komme ich leider nicht auf eine akzeptable Lösung.
