Grenzwerte bestimmen mit mehreren Variablen

Question

Aufgabe:

(i) Zeigen Sie:

$\lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0, \quad \lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow 0} \frac{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0$

(ii) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Ableitung einer vektorwertigen Funktion mehrerer Variablen, dass die Ableitung der Funktion

$\vec{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x-y \\ x y \\ x^{2} \end{array}\right)$
durch die $3 \times 2$-Matrix
$\overrightarrow{f^{\prime}}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ y & x \\ 2 x & 0 \end{array}\right)$

gegeben ist.

Hinweis: Teil (i) kann hier nützlich sein.

Ansatz/Problem:

Muss man bei diesen Aufgaben L´hospital benutzen um auf die Lösung zu kommen? Mit den Binomischen Regeln komme ich leider nicht auf eine akzeptable Lösung.

Answer 1

Ich glaube wir haben das mal wie folgt gemacht:

lim (x, y --> 0) x⁴/(x² + y²)

Ersetze

x = h*COS(a)
y = h*SIN(a)

lim (h --> 0) (h·COS(a))⁴/((h·COS(a))² + (h·SIN(a))²)

lim (h --> 0) (h⁴·COS(a)⁴) / (h²·COS(a)² + h²·SIN(a)²)

lim (h --> 0) (h⁴·COS(a)⁴) / (h²·(COS(a)² + SIN(a)²))

lim (h --> 0) (h⁴·COS(a)⁴) / h²

lim (h --> 0) h²·COS(a)⁴) = 0